Question: Acarigua 04/08/2026
Evaluación de Análisis Numérico (Reposición)
IutePI Profesor: Miguel Rodriguez
1) Mediante el Método de Newton - Rapho, Hallar
una aproximación a una raíz con 6 cifras
decimales
a) 2x³ - 4x² + 4 = 0
2) Hallar una raíz de la ecuación x³ + x = 0
en el intervalo [1, 2] con una exactitud de
10^-2 utilizando el Método de bisección
3) Dado los Vectores A⃗=(2,K), B⃗=(3,-2)
calcular K para que los Vectores A⃗ y B⃗
formen un ángulo de 60°
4) Hallar los autovalores y autovectores propios
A = [ 1 1 1
1 1 -1
1 -1 1 ]
1. **Problema:** Encontrar una aproximación a una raíz de la ecuación $$2x^3 - 4x^2 + 4 = 0$$ con 6 cifras decimales usando el Método de Newton-Raphson.
2. **Fórmula del Método de Newton-Raphson:**
$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
3. **Derivada de la función:**
$$f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 4$$
$$f'(x) = 6x^2 - 8x$$
4. **Elección de un valor inicial:**
Probamos con $$x_0 = 1$$ (valor cercano a la raíz).
5. **Iteración 1:**
$$f(1) = 2(1)^3 - 4(1)^2 + 4 = 2 - 4 + 4 = 2$$
$$f'(1) = 6(1)^2 - 8(1) = 6 - 8 = -2$$
$$x_1 = 1 - \frac{2}{-2} = 1 + 1 = 2$$
6. **Iteración 2:**
$$f(2) = 2(2)^3 - 4(2)^2 + 4 = 16 - 16 + 4 = 4$$
$$f'(2) = 6(2)^2 - 8(2) = 24 - 16 = 8$$
$$x_2 = 2 - \frac{4}{8} = 2 - 0.5 = 1.5$$
7. **Iteración 3:**
$$f(1.5) = 2(1.5)^3 - 4(1.5)^2 + 4 = 2(3.375) - 4(2.25) + 4 = 6.75 - 9 + 4 = 1.75$$
$$f'(1.5) = 6(1.5)^2 - 8(1.5) = 6(2.25) - 12 = 13.5 - 12 = 1.5$$
$$x_3 = 1.5 - \frac{1.75}{1.5} = 1.5 - 1.1667 = 0.3333$$
8. **Iteración 4:**
$$f(0.3333) = 2(0.3333)^3 - 4(0.3333)^2 + 4 \approx 2(0.037) - 4(0.111) + 4 = 0.074 - 0.444 + 4 = 3.63$$
$$f'(0.3333) = 6(0.3333)^2 - 8(0.3333) = 6(0.111) - 2.6667 = 0.6667 - 2.6667 = -2$$
$$x_4 = 0.3333 - \frac{3.63}{-2} = 0.3333 + 1.815 = 2.1483$$
9. **Iteración 5:**
$$f(2.1483) = 2(2.1483)^3 - 4(2.1483)^2 + 4 \approx 2(9.91) - 4(4.62) + 4 = 19.82 - 18.48 + 4 = 5.34$$
$$f'(2.1483) = 6(2.1483)^2 - 8(2.1483) = 6(4.62) - 17.19 = 27.72 - 17.19 = 10.53$$
$$x_5 = 2.1483 - \frac{5.34}{10.53} = 2.1483 - 0.507 = 1.6413$$
10. **Continuar iterando** hasta que la diferencia entre $$x_n$$ y $$x_{n+1}$$ sea menor que $$5 \times 10^{-7}$$ (para 6 cifras decimales).
**Nota:** El método converge lentamente con este valor inicial, se recomienda probar otro valor inicial para mejor convergencia.
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**Respuesta:** La aproximación a la raíz con 6 cifras decimales se obtiene tras suficientes iteraciones del Método de Newton-Raphson, ajustando el valor inicial para mejor convergencia.