Impliciete Afgeleiden Af0Da7

1. **Probleemstelling:** We hebben een impliciete vergelijking voor een functie $f(x,y)$: $$3x^2 f(x,y) - x^2 y^2 + 2 f(x,y)^3 - 3 y f(x,y) = 1.$$ We willen de eerste en tweede partiële afgeleiden van $f$ evalueren in het punt $(1,1)$: $D_1 f(1,1)$, $D_2 f(1,1)$, $D^2_{11} f(1,1)$, $D^2_{12} f(1,1)$ en $D^2_{22} f(1,1)$. 2. **Stap 1: Vind $f(1,1)$** Vervang $x=1$, $y=1$ in de vergelijking: $$3 \cdot 1^2 \cdot f(1,1) - 1^2 \cdot 1^2 + 2 f(1,1)^3 - 3 \cdot 1 \cdot f(1,1) = 1.$$ Dit vereenvoudigt tot: $$3 f(1,1) - 1 + 2 f(1,1)^3 - 3 f(1,1) = 1.$$ De termen $3 f(1,1)$ en $-3 f(1,1)$ heffen elkaar op, dus: $$2 f(1,1)^3 - 1 = 1.$$ Los op voor $f(1,1)$: $$2 f(1,1)^3 = 2 \implies f(1,1)^3 = 1 \implies f(1,1) = 1.$$ 3. **Stap 2: Differentieer impliciet naar $x$** We differentiëren de vergelijking naar $x$, waarbij $f = f(x,y)$ en $f_x = D_1 f(x,y)$: $$\frac{d}{dx} \left(3 x^2 f - x^2 y^2 + 2 f^3 - 3 y f \right) = \frac{d}{dx} 1 = 0.$$ Gebruik productregel en kettingregel: $$3 \cdot 2 x f + 3 x^2 f_x - 2 x y^2 + 6 f^2 f_x - 3 y f_x = 0.$$ Schrijf dit als: $$6 x f + 3 x^2 f_x - 2 x y^2 + 6 f^2 f_x - 3 y f_x = 0.$$ Groeperen naar $f_x$: $$(3 x^2 + 6 f^2 - 3 y) f_x = 2 x y^2 - 6 x f.$$ Dus: $$f_x = \frac{2 x y^2 - 6 x f}{3 x^2 + 6 f^2 - 3 y}.$$ 4. **Stap 3: Differentieer impliciet naar $y$** Differentieer de originele vergelijking naar $y$, met $f_y = D_2 f(x,y)$: $$\frac{d}{dy} \left(3 x^2 f - x^2 y^2 + 2 f^3 - 3 y f \right) = 0.$$ Bereken term per term: $$3 x^2 f_y - 2 x^2 y + 6 f^2 f_y - 3 f - 3 y f_y = 0.$$ Groeperen naar $f_y$: $$(3 x^2 + 6 f^2 - 3 y) f_y = 2 x^2 y + 3 f.$$ Dus: $$f_y = \frac{2 x^2 y + 3 f}{3 x^2 + 6 f^2 - 3 y}.$$ 5. **Stap 4: Bereken $f_x(1,1)$ en $f_y(1,1)$** Vul $x=1$, $y=1$, $f=1$ in: Noemer: $$3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 = 3 + 6 - 3 = 6.$$ Voor $f_x$: $$\text{teller} = 2 \cdot 1 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 \cdot 1 = 2 - 6 = -4.$$ Dus: $$f_x(1,1) = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}.$$ Voor $f_y$: $$\text{teller} = 2 \cdot 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5.$$ Dus: $$f_y(1,1) = \frac{5}{6}.$$ 6. **Stap 5: Differentieer $f_x$ naar $x$ en $y$ voor tweede afgeleiden** We differentiëren de uitdrukking voor $f_x$: $$f_x = \frac{2 x y^2 - 6 x f}{3 x^2 + 6 f^2 - 3 y} = \frac{N}{D}.$$ We gebruiken de quotiëntregel: $$f_{xx} = \frac{N_x D - N D_x}{D^2}, \quad f_{xy} = \frac{N_y D - N D_y}{D^2}.$$ We moeten $N_x$, $N_y$, $D_x$, $D_y$ berekenen, waarbij $f$ en $f_x$, $f_y$ ook afhangen van $x,y$. 7. **Stap 6: Bereken $N$, $D$ en hun afgeleiden in $(1,1)$** Herinner: $$N = 2 x y^2 - 6 x f,$$ $$D = 3 x^2 + 6 f^2 - 3 y.$$ Bereken partiële afgeleiden: $$N_x = 2 y^2 - 6 f - 6 x f_x,$$ $$N_y = 4 x y - 6 x f_y,$$ $$D_x = 6 x + 12 f f_x,$$ $$D_y = 12 f f_y - 3.$$ Vul in $x=1$, $y=1$, $f=1$, $f_x = -\frac{2}{3}$, $f_y = \frac{5}{6}$: $$N_x = 2 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 - 6 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 2 - 6 + 4 = 0,$$ $$N_y = 4 \cdot 1 \cdot 1 - 6 \cdot 1 \cdot \frac{5}{6} = 4 - 5 = -1,$$ $$D_x = 6 \cdot 1 + 12 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 6 - 8 = -2,$$ $$D_y = 12 \cdot 1 \cdot \frac{5}{6} - 3 = 10 - 3 = 7.$$ 8. **Stap 7: Bereken $f_{xx}(1,1)$ en $f_{xy}(1,1)$** We hebben $N(1,1) = 2 \cdot 1 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 \cdot 1 = 2 - 6 = -4$ en $D(1,1) = 6$. Dus: $$f_{xx} = \frac{N_x D - N D_x}{D^2} = \frac{0 \cdot 6 - (-4)(-2)}{6^2} = \frac{0 - 8}{36} = -\frac{8}{36} = -\frac{2}{9}.$$ $$f_{xy} = \frac{N_y D - N D_y}{D^2} = \frac{-1 \cdot 6 - (-4) \cdot 7}{36} = \frac{-6 + 28}{36} = \frac{22}{36} = \frac{11}{18}.$$ 9. **Stap 8: Differentieer $f_y$ naar $y$ voor $f_{yy}$** Herinner: $$f_y = \frac{2 x^2 y + 3 f}{3 x^2 + 6 f^2 - 3 y} = \frac{M}{D}.$$ Bereken: $$M_y = 2 x^2 + 3 f_y,$$ $$D_y = 12 f f_y - 3.$$ Vul in $x=1$, $y=1$, $f=1$, $f_y=\frac{5}{6}$: $$M_y = 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot \frac{5}{6} = 2 + \frac{15}{6} = 2 + 2.5 = 4.5,$$ $$D_y = 12 \cdot 1 \cdot \frac{5}{6} - 3 = 10 - 3 = 7.$$ We hebben $M(1,1) = 2 \cdot 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5$ en $D(1,1) = 6$. Dus: $$f_{yy} = \frac{M_y D - M D_y}{D^2} = \frac{4.5 \cdot 6 - 5 \cdot 7}{36} = \frac{27 - 35}{36} = -\frac{8}{36} = -\frac{2}{9}.$$ --- **Eindresultaten:** $$D_1 f(1,1) = f_x(1,1) = -\frac{2}{3},$$ $$D_2 f(1,1) = f_y(1,1) = \frac{5}{6},$$ $$D^2_{11} f(1,1) = f_{xx}(1,1) = -\frac{2}{9},$$ $$D^2_{12} f(1,1) = f_{xy}(1,1) = \frac{11}{18},$$ $$D^2_{22} f(1,1) = f_{yy}(1,1) = -\frac{2}{9}.$$