Question: Voorbereidingsoefeningen
Extra oefening 8.1
Beschouw voor elke $x \in \mathbb{R}$ volgend niet-lineair stelsel in $y_1$ en $y_2$:
{\nxy_1^2 + y_2 + \sin x = 1\ny_1 + y_2^3 + e^x = 2.\n}
(1)
(a) Ga na dat dit stelsel een (unieke) oplossing $(y_1^*, y_2^*)$ heeft voor $x^* = 0$.
(b) We gaan aantonen dat er een omgeving rond $x^* = 0$ bestaat zodat voor elke $x$-waarde in die omgeving, we een oplossing $(y_1, y_2)$ van dat stelsel kunnen vinden in
de omgeving van $(y_1^*, y_2^*)$. Dit kunnen we doen door met behulp van de algemene impliciete functiestelling (AIFS), 1.2.4, te argumenteren dat we $y_1$ en $y_2$ in een omgeving kunnen schrijven als $f_1(x)$ en $f_2(x)$, met $f_1$ en $f_2$ afleidbare functies.
1. Vertaal alle concepten uit de AIFS naar deze opgave. Wat is $F$, $c$, $x^* \in \mathbb{R}^n$, $y^* \in \mathbb{R}^m$?
2. Controleer de (drie) voorwaarden van de AIFS.
3. Schrijf de gevolgen van de AIFS uit voor dit geval.
(c) Wat kan je nu besluiten over de oplosbaarheid van het stelsel (1)?
(d) Bereken $f_1'(0)$ en $f_2'(0)$. Dit kan door impliciet af te leiden ofwel met formule (1.15) uit de AIFS.
1. **Stelling van het probleem:**
We onderzoeken het niet-lineaire stelsel
$$
\begin{cases}
xy_1^2 + y_2 + \sin x = 1 \\
y_1 + y_2^3 + e^x = 2
\end{cases}
$$
voor $x \in \mathbb{R}$ en zoeken oplossingen $(y_1, y_2)$.
2. **(a) Unieke oplossing voor $x^* = 0$:**
- Stel $x=0$, dan wordt het stelsel:
$$
\begin{cases}
0 \cdot y_1^2 + y_2 + \sin 0 = 1 \\
y_1 + y_2^3 + e^0 = 2
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y_2 = 1 \\ y_1 + 1^3 + 1 = 2 \end{cases}
$$
- Dit vereenvoudigt tot:
$$
\begin{cases} y_2 = 1 \\ y_1 + 2 = 2 \end{cases} \Rightarrow y_1 = 0, y_2 = 1
$$
- Dus de unieke oplossing is $(y_1^*, y_2^*) = (0,1)$.
3. **(b) Toepassing van de Algemene Impliciete Functiestelling (AIFS):**
- Definieer de functie $F: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ als
$$
F(x,y_1,y_2) = \begin{pmatrix} xy_1^2 + y_2 + \sin x - 1 \\ y_1 + y_2^3 + e^x - 2 \end{pmatrix}
$$
- Hier is $x^* = 0 \in \mathbb{R}^n$ met $n=1$, en $y^* = (y_1^*, y_2^*) = (0,1) \in \mathbb{R}^m$ met $m=2$.
- De constante vector $c$ is $0 \in \mathbb{R}^2$ omdat we zoeken naar $F(x,y) = 0$.
4. **Controle van de drie voorwaarden van de AIFS:**
- Voorwaarde 1: $F$ is continu differentieerbaar in een omgeving van $(x^*, y^*)$.
- $F$ bestaat uit polynomen, exponentiële en sinusfuncties, die allemaal continu differentieerbaar zijn.
- Voorwaarde 2: $F(x^*, y^*) = 0$.
- We hebben al gezien dat $F(0,0,1) = (0,0)$.
- Voorwaarde 3: De partiële afgeleide van $F$ naar $y$, $D_yF(x^*, y^*)$, is invertibel.
Bereken de Jacobiaan matrix:
$$
D_yF(x,y) = \begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial y_1} (xy_1^2 + y_2 + \sin x - 1) & \frac{\partial}{\partial y_2} (xy_1^2 + y_2 + \sin x - 1) \\
\frac{\partial}{\partial y_1} (y_1 + y_2^3 + e^x - 2) & \frac{\partial}{\partial y_2} (y_1 + y_2^3 + e^x - 2)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2xy_1 & 1 \\
1 & 3y_2^2
\end{pmatrix}
$$
Evaluatie in $(x^*, y^*) = (0,0,1)$:
$$
D_yF(0,0,1) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 0 \cdot 0 & 1 \\ 1 & 3 \cdot 1^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
$$
De determinant is:
$$
\det = 0 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = -1 \neq 0
$$
Dus $D_yF(0,0,1)$ is invertibel.
5. **Gevolgen van de AIFS:**
- Er bestaat een omgeving rond $x^* = 0$ waarin unieke differentieerbare functies $f_1(x)$ en $f_2(x)$ bestaan zodat
$$
F(x, f_1(x), f_2(x)) = 0
$$
- Dit betekent dat voor $x$ dicht bij $0$, het stelsel een unieke oplossing $(y_1,y_2) = (f_1(x), f_2(x))$ heeft.
6. **(c) Conclusie over oplosbaarheid:**
- Het stelsel is lokaal oplosbaar rond $x=0$ met unieke oplossingen die continu en differentieerbaar afhangen van $x$.
7. **(d) Berekening van $f_1'(0)$ en $f_2'(0)$:**
- Impliciete differentiatie van $F(x, f_1(x), f_2(x)) = 0$ geeft:
$$
D_xF + D_yF \cdot \begin{pmatrix} f_1'(x) \\ f_2'(x) \end{pmatrix} = 0
$$
- Oplossen voor $\begin{pmatrix} f_1'(x) \\ f_2'(x) \end{pmatrix}$:
$$
\begin{pmatrix} f_1'(x) \\ f_2'(x) \end{pmatrix} = - (D_yF)^{-1} D_xF
$$
- Bereken $D_xF$ in $(0,0,1)$:
$$
D_xF = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} (xy_1^2 + y_2 + \sin x - 1) \\ \frac{\partial}{\partial x} (y_1 + y_2^3 + e^x - 2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1^2 + \cos x \\ e^x \end{pmatrix}
$$
Evaluatie in $(0,0,1)$:
$$
D_xF(0,0,1) = \begin{pmatrix} 0^2 + \cos 0 \\ e^0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
$$
- We hebben al:
$$
D_yF(0,0,1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
$$
- Inverse van $D_yF(0,0,1)$:
$$
(D_yF)^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
$$
- Nu:
$$
\begin{pmatrix} f_1'(0) \\ f_2'(0) \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} -3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}
$$
**Antwoord:**
$$
f_1'(0) = 2, \quad f_2'(0) = -1
$$