Question: Limites et applications
9 Déterminer la limite en 0 et en +\infty de la fonction définie sur ]0 ; +\infty[ par f(x) = 1/x - 1/x^2 + 1/x^3
10 Pour chacune des fonctions suivantes, trouver sa limite lorsqu’on tend vers +\infty.
(1) f(x) = 3x / (x + 7)
(2) g(x) = 2x^2 + \sqrt{x + 4}
Limites de fonctions polynômiales et de fonctions rationnelles
11 Dans chacun des cas suivants, f est une fonction rationnelle. Calculer les limites de f en +\infty et en -\infty.
(1) f(x) = (7x^2 + 3x - 8) / ((x - 1)(x - 2))
(2) f(x) = (3x^2 - 5x + 1) / (x + 9)
12 Dans chacun des cas suivants, f est une fonction polynôme. Calculer les limites de f en +\infty et en -\infty.
(1) f(x) = -x^3 + 4x^2 + 5x - 1
(2) f(x) = 2x^3 + x^2 + 5x - 1
(3) f(x) = -x^3 - 3x + 6
(4) f(x) = 5x^3 - x^2 - 3x + 6
Limites d’une fonction composée
13.1 On sait que lim(x→0) sin x / x = 1.
Étudier les limites suivantes :
(1) lim(x→0) sin 2x / x
(2) lim(x→0) sin x^2 / x^2
(3) lim(x→0) a sin x / x
(4) lim(x→0) sin 3x / 3x
2. Calculer : lim(x→0) sin(ax) / x, où a ∈ R*, b ∈ R*.
3. Calculer : lim(x→0) sin x / x^2
14 Démontrer que : lim(x→0) (1 + x^2 - 1) / x = 1/2
Étudier les limites suivantes :
(1) lim(x→0) (\sqrt{1 + x^2} - 1) / 4x^2
(2) lim(x→0) (1 + sin x - 1) / 2x
15 On sait que : lim(x→0) sin x / x = 1
On considère la fonction f : x ↦ (1 - cos 2x) / x^2.
Démontrer que f(x) = 2(sin x)^2 / x^2 et déterminer lim(x→0) f(x).
Passage à la limite dans une inégalité
16 On considère une fonction f définie sur ]1 ; +\infty[, admettant une limite \ell finie en +\infty, et vérifiant :
1 + 1/x ≤ f(x) ≤ 1 + 2/x sur ]1 ; +\infty[
Déterminer un encadrement de la limite \ell.
1. Énoncé du problème : Déterminer la limite en 0 et en +\infty de la fonction définie sur ]0 ; +\infty[ par $$f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}$$.
2. Limite en 0^+ :
- Lorsque $$x \to 0^+$$, les termes $$\frac{1}{x}$$, $$\frac{1}{x^2}$$, et $$\frac{1}{x^3}$$ tendent vers +\infty ou -\infty selon le signe.
- Ici, $$x > 0$$ donc $$\frac{1}{x} \to +\infty$$, $$\frac{1}{x^2} \to +\infty$$, $$\frac{1}{x^3} \to +\infty$$.
- La fonction est $$f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = \frac{1}{x} + \left(-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right)$$.
- Le terme dominant est $$\frac{1}{x^3}$$ qui tend vers +\infty.
- Donc $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$$.
3. Limite en +\infty :
- Lorsque $$x \to +\infty$$, les termes $$\frac{1}{x}$$, $$\frac{1}{x^2}$$, $$\frac{1}{x^3}$$ tendent vers 0.
- Donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 - 0 + 0 = 0$$.
**Réponse :**
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$$ et $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$$.