Question: We kunnen niet altijd expliciet een primitieve functie vinden.
Vb: $\int \sin^2 x \, dx = ?$
Numerieke integratie
1) Via reeksontwikkeling
$f(x) = \sum_{k=0}^m \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + R_m(x)$
Vb: $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto e^x$
• $\int_{-1}^1 e^x \, dx = [e^x]_{-1}^1 = e - \frac{1}{e}$
• $e^x = \sum_{k=0}^m \frac{x^k}{k!} + R_m(x)$ met $(a = 0)$
$\Rightarrow \int_{-1}^1 e^x \, dx = \sum_{k=0}^m \int_{-1}^1 \frac{x^k}{k!} \, dx + \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx$
$= \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!} \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_{-1}^1 + \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx$
$= \sum_{k=0}^m \frac{1}{(k+1)!} \left(1 - (-1)^{k+1} \right) + \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx$
$= \frac{1}{1!} \cdot 2 + \frac{1}{2!} \cdot 0 + \frac{1}{3!} \cdot 2 + \frac{1}{4!} \cdot 0 + ... + \frac{1}{(m+1)!} \left(1 - (-1)^{m+1} \right) + \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx$
$= I_m \to$ benadering integraal
"fout"
1. **Probleemstelling:** We willen de integraal $\int \sin^2 x \, dx$ berekenen, maar soms is het niet mogelijk om een expliciete primitieve functie te vinden.
2. **Numerieke integratie via reeksontwikkeling:** We gebruiken de Taylorreeks van een functie $f(x)$ rond een punt $a$:
$$f(x) = \sum_{k=0}^m \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + R_m(x)$$
waar $R_m(x)$ de restterm is.
3. **Voorbeeldfunctie:** Beschouw $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ met $f(x) = e^x$.
4. **Exacte integraal:** We weten dat
$$\int_{-1}^1 e^x \, dx = [e^x]_{-1}^1 = e - \frac{1}{e}$$
5. **Taylorreeks van $e^x$ rond $a=0$:**
$$e^x = \sum_{k=0}^m \frac{x^k}{k!} + R_m(x)$$
6. **Integreren van de reeks:**
$$\int_{-1}^1 e^x \, dx = \int_{-1}^1 \sum_{k=0}^m \frac{x^k}{k!} \, dx + \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx = \sum_{k=0}^m \int_{-1}^1 \frac{x^k}{k!} \, dx + \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx$$
7. **Berekenen van de deelintegralen:**
$$\int_{-1}^1 \frac{x^k}{k!} \, dx = \frac{1}{k!} \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_{-1}^1 = \frac{1}{k!} \frac{1^{k+1} - (-1)^{k+1}}{k+1} = \frac{1 - (-1)^{k+1}}{(k+1)!}$$
8. **Samenvoegen:**
$$\int_{-1}^1 e^x \, dx = \sum_{k=0}^m \frac{1 - (-1)^{k+1}}{(k+1)!} + \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx$$
9. **Waarneming:** Voor even $k+1$ is $1 - (-1)^{k+1} = 0$, voor oneven $k+1$ is het $2$. Dus de som reduceert tot:
$$\frac{2}{1!} + 0 + \frac{2}{3!} + 0 + \frac{2}{5!} + ... + \frac{2}{(m+1)!} + \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx = I_m$$
10. **Interpretatie:** $I_m$ is een benadering van de integraal, waarbij de restterm $\int_{-1}^1 R_m(x) \, dx$ de fout aangeeft.
11. **Conclusie:** Door de functie te benaderen met een Taylorreeks en termgewijs te integreren, kunnen we numeriek integreren als expliciete primitieve functies niet beschikbaar zijn.
Deze methode kan ook toegepast worden op andere functies zoals $\sin^2 x$ waar geen eenvoudige primitieve bestaat.