Question: We kunnen niet altijd expliciet een primitieve functie vinden.
Vb: $\int \sin^2 x \, dx = ?$
Numerieke integratie
1) Via reeksontwikkeling
$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + R_m(x)$
Vb: $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto e^x$
• $\int_{-1}^1 e^x \, dx = [e^x]_{-1}^1 = e - \frac{1}{e}$
• $e^x = \sum_{k=0}^m \frac{x^k}{k!} + R_m(x)$ met $(a=0)$
$\Rightarrow \int_{-1}^1 e^x \, dx = \sum_{k=0}^m \int_{-1}^1 \frac{x^k}{k!} \, dx + \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx$
$= \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!} \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_{-1}^1 + \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx$
$= \sum_{k=0}^m \frac{1}{(k+1)!} \left(1 - (-1)^{k+1} \right) + \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx$
$= \frac{1}{1!} \cdot 2 + \frac{1}{2!} \cdot 0 + \frac{1}{3!} \cdot 2 + \frac{1}{4!} \cdot 0 + \ldots + \frac{1}{(m+1)!} \left(1 - (-1)^{m+1} \right) + \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx$
$\Rightarrow I_m \to$ benaderingsintegraal "fout"
Opmerking: Algemeen: $R_m(x) = \frac{f^{(m+1)}(c(m,x))}{(m+1)!} \cdot (x - a)^{m+1}$
voor een $c(m,x)$ tussen $a$ en $x$
In het voorbeeld: $\left| \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx \right| = \left| \int_{-1}^1 \frac{e^{c(m,x)}}{(m+1)!} x^{m+1} \, dx \right|$
$\leq \int_{-1}^1 \frac{e^{c(m,x)}}{(m+1)!} |x|^{m+1} \, dx$
$\leq \frac{e}{(m+1)!} \int_{-1}^1 |x|^{m+1} \, dx$
$= \frac{2e}{(m+1)!} \int_0^1 x^{m+1} \, dx = \frac{2e}{(m+1)!} \left[ \frac{x^{m+2}}{m+2} \right]_0^1$
$= \frac{2e}{(m+1)! (m+2)} \to 0$ als $m \to \infty$
$|c(m,x)| < |x|$
$\Rightarrow |c(m,x)| < 1$
$\Rightarrow -1 < c(m,x) < 1$
$\Rightarrow \frac{1}{e} < e^{c(m,x)} < e$
1. **Stel het probleem vast:** We willen de integraal $\int \sin^2 x \, dx$ benaderen, maar soms is het niet mogelijk om een expliciete primitieve functie te vinden.
2. **Numerieke integratie via reeksontwikkeling:** We gebruiken de Taylorreeks van een functie $f(x)$ rond een punt $a$:
$$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + R_m(x)$$
waar $R_m(x)$ de restterm is.
3. **Voorbeeldfunctie:** $f(x) = e^x$ met $a=0$.
4. **Exacte integraal:**
$$\int_{-1}^1 e^x \, dx = [e^x]_{-1}^1 = e - \frac{1}{e}$$
5. **Taylorreeks van $e^x$:**
$$e^x = \sum_{k=0}^m \frac{x^k}{k!} + R_m(x)$$
6. **Integraal van de benadering:**
$$\int_{-1}^1 e^x \, dx = \sum_{k=0}^m \int_{-1}^1 \frac{x^k}{k!} \, dx + \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx$$
7. **Bereken elke term:**
$$\int_{-1}^1 \frac{x^k}{k!} \, dx = \frac{1}{k!} \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_{-1}^1 = \frac{1}{(k+1)!} (1 - (-1)^{k+1})$$
8. **Som van de termen:**
$$\sum_{k=0}^m \frac{1}{(k+1)!} (1 - (-1)^{k+1}) = \frac{2}{1!} + 0 + \frac{2}{3!} + 0 + \ldots + \frac{1}{(m+1)!} (1 - (-1)^{m+1})$$
9. **Restterm $R_m(x)$:**
Algemeen geldt:
$$R_m(x) = \frac{f^{(m+1)}(c(m,x))}{(m+1)!} (x - a)^{m+1}$$
voor een $c(m,x)$ tussen $a$ en $x$.
10. **Bovenbegrenzing van de fout:**
$$\left| \int_{-1}^1 R_m(x) \, dx \right| = \left| \int_{-1}^1 \frac{e^{c(m,x)}}{(m+1)!} x^{m+1} \, dx \right| \leq \frac{e}{(m+1)!} \int_{-1}^1 |x|^{m+1} \, dx$$
11. **Bereken de integraal van $|x|^{m+1}$:**
$$\int_{-1}^1 |x|^{m+1} \, dx = 2 \int_0^1 x^{m+1} \, dx = 2 \left[ \frac{x^{m+2}}{m+2} \right]_0^1 = \frac{2}{m+2}$$
12. **Foutgrens wordt:**
$$\frac{2e}{(m+1)! (m+2)} \to 0 \quad \text{als} \quad m \to \infty$$
13. **Conclusie:**
De benadering $I_m$ nadert de exacte integraal steeds beter aan naarmate $m$ groter wordt, omdat de restterm naar nul gaat.
14. **Extra opmerking over $c(m,x)$:**
Omdat $c(m,x)$ tussen $a=0$ en $x$ ligt en $x \in [-1,1]$, geldt:
$$|c(m,x)| < |x| \leq 1$$
Dus:
$$-1 < c(m,x) < 1$$
en daarmee:
$$\frac{1}{e} < e^{c(m,x)} < e$$