Question: Optimalisatie
• f : A\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} afleidbaar
boven
f'(a)= 0 \to "kritiek punt"
en
f''(a) < 0 \to lokaal max
f''(a) > 0 \to lokaal min
f''(a) = 0 \to ?
Bv. f(x)=x^3 f(x)=x^4
f(x)=-x^4
In elk van de
gevallen is
f'(0)=f''(0)=0
• f : A\subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} afleidbaar
boven
f(x_1,x_2)
\Rightarrow zadel
\frac{\partial f(a)}{\partial x_1} = \frac{\partial f(a)}{\partial x_2} = 0 "kritiek punt"
Er zijn nu 3 tweede orde afgeleiden,
namelijk \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}
Def: f : A\subseteq \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} met continue tweedeordeafgeleiden
De Hessiaan van f in a\in A is:
H_f(a) =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f(a)}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x_1 \partial x_m} \\
\frac{\partial^2 f(a)}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x_2 \partial x_m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial^2 f(a)}{\partial x_m \partial x_1} & \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x_m \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x_m^2}
\end{pmatrix}
SYMMETRISCH
top-right: a sketch of a 1D function graph with three marked x-values a_1, a_2, a_3; the curve has a local maximum near a_1, a local minimum near a_2, and another local maximum near a_3. Bottom-left: a 3D surface graph labeled f(x_1,x_2) showing a saddle point, with the surface rising in one direction and falling in the perpendicular direction.
Leg grondig uit
1. **Stel het probleem vast:** We onderzoeken optimalisatie van functies $f$ die afleidbaar zijn, eerst in $\mathbb{R}$ en daarna in $\mathbb{R}^2$ of hoger.
2. **Eerste orde voorwaarden (kritieke punten):** Voor een functie $f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ geldt dat een punt $a$ kritiek is als de afgeleide nul is:
$$f'(a) = 0$$
Dit betekent dat de raaklijn horizontaal is en er mogelijk een lokaal maximum, minimum of zadelpunt is.
3. **Tweede orde voorwaarden voor lokaal extremum:**
- Als $$f''(a) < 0$$ dan is $a$ een lokaal maximum.
- Als $$f''(a) > 0$$ dan is $a$ een lokaal minimum.
- Als $$f''(a) = 0$$ dan is de test inconclusief; het kan een inflectiepunt of zadelpunt zijn.
4. **Voorbeelden:**
- $f(x) = x^3$ heeft $f'(0) = 0$ en $f''(0) = 0$, maar $x=0$ is geen extremum, het is een inflectiepunt.
- $f(x) = x^4$ heeft $f'(0) = 0$ en $f''(0) = 0$, maar $x=0$ is een lokaal minimum.
- $f(x) = -x^4$ heeft $f'(0) = 0$ en $f''(0) = 0$, maar $x=0$ is een lokaal maximum.
5. **Uitbreiding naar functies van meerdere variabelen:**
Voor $f : A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ geldt dat een kritiek punt $a = (a_1,a_2)$ voldoet aan:
$$\frac{\partial f}{\partial x_1}(a) = 0 \quad \text{en} \quad \frac{\partial f}{\partial x_2}(a) = 0$$
6. **Tweede orde afgeleiden en de Hessiaan:**
De tweede orde afgeleiden zijn:
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}$$
De Hessiaan matrix $H_f(a)$ is:
$$
H_f(a) = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(a) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(a)
\end{pmatrix}
$$
Deze matrix is symmetrisch, dat wil zeggen:
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}$$
7. **Interpretatie van de Hessiaan:**
- Als $H_f(a)$ positief definit is (alle eigenwaarden positief), dan is $a$ een lokaal minimum.
- Als $H_f(a)$ negatief definit is (alle eigenwaarden negatief), dan is $a$ een lokaal maximum.
- Als $H_f(a)$ indefinit is (eigenwaarden van verschillend teken), dan is $a$ een zadelpunt.
8. **Visualisatie:**
- In 1D zien we bij $a_1$ een lokaal maximum, bij $a_2$ een lokaal minimum, en bij $a_3$ weer een lokaal maximum.
- In 2D toont de 3D grafiek een zadelpunt waar de functie stijgt in de ene richting en daalt in de andere.
Deze regels helpen bij het vinden en classificeren van kritieke punten van functies in 1 of meerdere variabelen.