Question: Optimalisatie
• f : A\subseteq\mathbb{R} \to \mathbb{R} afleidbaar
open
f''(a)=0 -> "buigk punt"
en
f''(a) < 0 -> lokaal max
f''(a) > 0 -> lokaal min
f''(a) = 0 -> buigpunt
Bv. f(x) = x^3 f(x)=x^4
f(x)=-x^4
In elk van de
gevallen is
f''(0)=f'''(0)=0
• f : A\subseteq\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} afleidbaar
open
\frac{\partial f}{\partial x_1}(a) = \frac{\partial f}{\partial x_2}(a) = 0 "kritiek punt"
Er zijn nu 3 tweede orde afgeleiden,
namelijk \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}
Def: f : A\subseteq\mathbb{R}^m \to \mathbb{R} met continue tweedeordeafgeleiden
De Hessiaan van f in a \in A is:
H_f(a) =
\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_m}(a) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(a) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_m}(a) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_m \partial x_1}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_m \partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_m^2}(a) \end{pmatrix}
SYMMETRISCH
Graph shapes:
top-right: a 1D function curve with two local maxima and one local minimum, marked at a1, a2, a3 on the x-axis.
center: three example graphs of f(x)=x^3, f(x)=x^4, and f(x)=-x^4; respectively an S-shaped increasing cubic, an upward-opening parabola-like quartic, and a downward-opening quartic.
bottom-left: a 2D surface over (x_1,x_2) shaped like a saddle, with a dashed vertical projection and labels a1, a2, a3 on the domain.
User: Leg grondig uit
1. **Probleemstelling:** We willen begrijpen hoe we optimale punten (maxima, minima, buigpunten) van functies kunnen vinden en classificeren, zowel voor functies van één variabele als van meerdere variabelen.
2. **Eerste en tweede afgeleide test (1D):**
- Voor een functie $f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ geldt:
- Een kritisch punt $a$ is waar $f'(a) = 0$.
- Om te bepalen of $a$ een lokaal maximum, minimum of buigpunt is, gebruiken we de tweede afgeleide $f''(a)$:
- Als $f''(a) < 0$, dan is $a$ een lokaal maximum.
- Als $f''(a) > 0$, dan is $a$ een lokaal minimum.
- Als $f''(a) = 0$, dan is $a$ een buigpunt (punt van inflectie).
3. **Voorbeelden:**
- $f(x) = x^3$:
- $f'(x) = 3x^2$, dus $f'(0) = 0$.
- $f''(x) = 6x$, dus $f''(0) = 0$.
- Dit is een buigpunt.
- $f(x) = x^4$:
- $f'(x) = 4x^3$, dus $f'(0) = 0$.
- $f''(x) = 12x^2$, dus $f''(0) = 0$.
- Hier is ook een buigpunt, maar de kromming is altijd positief behalve in $0$.
- $f(x) = -x^4$:
- $f'(x) = -4x^3$, dus $f'(0) = 0$.
- $f''(x) = -12x^2$, dus $f''(0) = 0$.
- Ook een buigpunt.
4. **Functies van meerdere variabelen:**
- Voor $f : A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ is een kritiek punt $a$ waar:
$$\frac{\partial f}{\partial x_1}(a) = 0 \quad \text{en} \quad \frac{\partial f}{\partial x_2}(a) = 0$$
- Er zijn drie tweede orde partiële afgeleiden:
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}$$
5. **Hessiaan matrix:**
- De Hessiaan $H_f(a)$ is de matrix van tweede orde afgeleiden:
$$
H_f(a) = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(a) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(a)
\end{pmatrix}
$$
- Deze matrix is symmetrisch, dat wil zeggen:
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(a)$$
6. **Classificatie van kritieke punten met de Hessiaan:**
- Bereken de determinant $D = \det(H_f(a))$ en de waarde van $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a)$:
- Als $D > 0$ en $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a) > 0$, dan is $a$ een lokaal minimum.
- Als $D > 0$ en $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a) < 0$, dan is $a$ een lokaal maximum.
- Als $D < 0$, dan is $a$ een zadelpunt (geen lokaal extremum).
- Als $D = 0$, dan is de test inconclusief.
7. **Samenvatting:**
- Voor 1D-functies gebruiken we de tweede afgeleide om maxima, minima en buigpunten te vinden.
- Voor functies van meerdere variabelen gebruiken we de partiële afgeleiden en de Hessiaan matrix om kritieke punten te classificeren.
- De Hessiaan geeft inzicht in de kromming van de functie in meerdere richtingen tegelijk.
8. **Visualisatie:**
- De grafiek van $f(x) = x^3$ toont een buigpunt bij $x=0$ met een S-vorm.
- De grafiek van $f(x) = x^4$ toont een minimum bij $x=0$.
- De grafiek van $f(x) = -x^4$ toont een maximum bij $x=0$.
- De 2D-oppervlakte met een zadelpunt toont een punt waar de kromming in de ene richting positief is en in de andere negatief.
**Einde uitleg.**