Partiele Afgeleiden 2B1077

1. **Probleemstelling:** We hebben een impliciete vergelijking $$3x^2 f(x,y) - x^2 y^2 + 2 f(x,y)^3 - 3 y f(x,y) = 1$$ waarbij $f$ een functie is van twee variabelen met continue partiële afgeleiden tot minstens de tweede orde. We willen de eerste en tweede partiële afgeleiden van $f$ evalueren in het punt $(1,1)$. 2. **Stap 1: Vind $f(1,1)$** We vullen $x=1$ en $y=1$ in de vergelijking in: $$3 \cdot 1^2 \cdot f(1,1) - 1^2 \cdot 1^2 + 2 f(1,1)^3 - 3 \cdot 1 \cdot f(1,1) = 1$$ Dit vereenvoudigt tot: $$3 f(1,1) - 1 + 2 f(1,1)^3 - 3 f(1,1) = 1$$ De termen $3 f(1,1)$ en $-3 f(1,1)$ heffen elkaar op, dus: $$-1 + 2 f(1,1)^3 = 1$$ Dus: $$2 f(1,1)^3 = 2$$ $$f(1,1)^3 = 1$$ $$f(1,1) = 1$$ (aangezien $f$ reëel is). 3. **Stap 2: Differentieer impliciet naar $x$ (voor $D_1 f$)** We differentiëren de vergelijking naar $x$, waarbij we $f = f(x,y)$ en $f_x = D_1 f(x,y)$: $$\frac{\partial}{\partial x} \left(3x^2 f - x^2 y^2 + 2 f^3 - 3 y f \right) = \frac{\partial}{\partial x} 1 = 0$$ Bereken elke term: - $\frac{\partial}{\partial x} (3x^2 f) = 6x f + 3x^2 f_x$ - $\frac{\partial}{\partial x} (-x^2 y^2) = -2x y^2$ - $\frac{\partial}{\partial x} (2 f^3) = 6 f^2 f_x$ - $\frac{\partial}{\partial x} (-3 y f) = -3 y f_x$ Dus: $$6x f + 3x^2 f_x - 2x y^2 + 6 f^2 f_x - 3 y f_x = 0$$ 4. **Stap 3: Los op voor $f_x$ in $(1,1)$** Vul $x=1$, $y=1$, $f(1,1)=1$ in: $$6 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 f_x - 2 \cdot 1 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1^2 f_x - 3 \cdot 1 \cdot f_x = 0$$ $$6 + 3 f_x - 2 + 6 f_x - 3 f_x = 0$$ $$6 - 2 + (3 + 6 - 3) f_x = 0$$ $$4 + 6 f_x = 0$$ $$6 f_x = -4$$ $$f_x = -\frac{2}{3}$$ 5. **Stap 4: Differentieer impliciet naar $y$ (voor $D_2 f$)** We differentiëren de oorspronkelijke vergelijking naar $y$: $$\frac{\partial}{\partial y} \left(3x^2 f - x^2 y^2 + 2 f^3 - 3 y f \right) = 0$$ Bereken elke term: - $\frac{\partial}{\partial y} (3x^2 f) = 3x^2 f_y$ - $\frac{\partial}{\partial y} (-x^2 y^2) = -2 x^2 y$ - $\frac{\partial}{\partial y} (2 f^3) = 6 f^2 f_y$ - $\frac{\partial}{\partial y} (-3 y f) = -3 f - 3 y f_y$ Dus: $$3 x^2 f_y - 2 x^2 y + 6 f^2 f_y - 3 f - 3 y f_y = 0$$ 6. **Stap 5: Los op voor $f_y$ in $(1,1)$** Vul $x=1$, $y=1$, $f(1,1)=1$ in: $$3 \cdot 1^2 f_y - 2 \cdot 1^2 \cdot 1 + 6 \cdot 1^2 f_y - 3 \cdot 1 - 3 \cdot 1 \cdot f_y = 0$$ $$3 f_y - 2 + 6 f_y - 3 - 3 f_y = 0$$ $$(3 + 6 - 3) f_y - 5 = 0$$ $$6 f_y = 5$$ $$f_y = \frac{5}{6}$$ 7. **Stap 6: Differentieer opnieuw naar $x$ voor $D^2_{11} f$ en $D^2_{12} f$** We differentiëren de vergelijking uit stap 2 naar $x$: $$\frac{\partial}{\partial x} \left(6x f + 3x^2 f_x - 2x y^2 + 6 f^2 f_x - 3 y f_x \right) = 0$$ Bereken term per term: - $\frac{\partial}{\partial x} (6x f) = 6 f + 6x f_x$ - $\frac{\partial}{\partial x} (3x^2 f_x) = 6x f_x + 3x^2 f_{xx}$ - $\frac{\partial}{\partial x} (-2x y^2) = -2 y^2$ - $\frac{\partial}{\partial x} (6 f^2 f_x) = 12 f f_x^2 + 6 f^2 f_{xx}$ (gebruik productregel en kettingregel) - $\frac{\partial}{\partial x} (-3 y f_x) = -3 y f_{xx}$ Dus: $$6 f + 6x f_x + 6x f_x + 3x^2 f_{xx} - 2 y^2 + 12 f f_x^2 + 6 f^2 f_{xx} - 3 y f_{xx} = 0$$ Vereenvoudig: $$6 f + 12 x f_x + 3 x^2 f_{xx} - 2 y^2 + 12 f f_x^2 + 6 f^2 f_{xx} - 3 y f_{xx} = 0$$ 8. **Stap 7: Vul waarden in $(1,1)$ en los op voor $f_{xx}$** Vul $x=1$, $y=1$, $f=1$, $f_x = -\frac{2}{3}$ in: $$6 \cdot 1 + 12 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 3 \cdot 1^2 f_{xx} - 2 \cdot 1^2 + 12 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 6 \cdot 1^2 f_{xx} - 3 \cdot 1 \cdot f_{xx} = 0$$ Bereken de termen: - $6$ blijft - $12 \cdot (-\frac{2}{3}) = -8$ - $3 f_{xx}$ blijft - $-2$ blijft - $12 \cdot 1 \cdot \left(\frac{4}{9}\right) = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$ - $6 f_{xx}$ blijft - $-3 f_{xx}$ blijft Sommeer de $f_{xx}$ termen: $$3 f_{xx} + 6 f_{xx} - 3 f_{xx} = 6 f_{xx}$$ De vergelijking wordt: $$6 - 8 + 6 f_{xx} - 2 + \frac{16}{3} = 0$$ Tel de constante termen op: $$6 - 8 - 2 + \frac{16}{3} = (6 - 8 - 2) + \frac{16}{3} = (-4) + \frac{16}{3} = -\frac{12}{3} + \frac{16}{3} = \frac{4}{3}$$ Dus: $$\frac{4}{3} + 6 f_{xx} = 0$$ $$6 f_{xx} = -\frac{4}{3}$$ $$f_{xx} = -\frac{2}{9}$$ 9. **Stap 8: Differentieer de vergelijking uit stap 2 naar $y$ voor $D^2_{12} f$** We differentiëren: $$6x f + 3x^2 f_x - 2x y^2 + 6 f^2 f_x - 3 y f_x = 0$$ naar $y$: Term per term: - $\frac{\partial}{\partial y} (6x f) = 6x f_y$ - $\frac{\partial}{\partial y} (3x^2 f_x) = 3x^2 f_{xy}$ - $\frac{\partial}{\partial y} (-2x y^2) = -4 x y$ - $\frac{\partial}{\partial y} (6 f^2 f_x) = 12 f f_y f_x + 6 f^2 f_{xy}$ - $\frac{\partial}{\partial y} (-3 y f_x) = -3 f_x - 3 y f_{xy}$ Dus: $$6 x f_y + 3 x^2 f_{xy} - 4 x y + 12 f f_y f_x + 6 f^2 f_{xy} - 3 f_x - 3 y f_{xy} = 0$$ 10. **Stap 9: Vul waarden in $(1,1)$ en los op voor $f_{xy}$** Vul $x=1$, $y=1$, $f=1$, $f_x = -\frac{2}{3}$, $f_y = \frac{5}{6}$ in: $$6 \cdot 1 \cdot \frac{5}{6} + 3 \cdot 1^2 f_{xy} - 4 \cdot 1 \cdot 1 + 12 \cdot 1 \cdot \frac{5}{6} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 6 \cdot 1^2 f_{xy} - 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) - 3 \cdot 1 \cdot f_{xy} = 0$$ Bereken de constante termen: - $6 \cdot \frac{5}{6} = 5$ - $-4$ - $12 \cdot \frac{5}{6} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 12 \cdot \frac{5}{6} \cdot -\frac{2}{3} = 12 \cdot \frac{5}{6} \cdot -\frac{2}{3} = 12 \cdot \frac{5}{6} \cdot -\frac{2}{3} = 12 \cdot \frac{5}{6} \cdot -\frac{2}{3} = -20$ - $-3 \cdot (-\frac{2}{3}) = 2$ Som constanten: $$5 - 4 - 20 + 2 = (5 - 4) - 20 + 2 = 1 - 20 + 2 = -17$$ Sommeer de $f_{xy}$ termen: $$3 f_{xy} + 6 f_{xy} - 3 f_{xy} = 6 f_{xy}$$ De vergelijking wordt: $$-17 + 6 f_{xy} = 0$$ $$6 f_{xy} = 17$$ $$f_{xy} = \frac{17}{6}$$ 11. **Stap 10: Differentieer de vergelijking uit stap 5 naar $y$ voor $D^2_{22} f$** We differentiëren: $$3 x^2 f_y - 2 x^2 y + 6 f^2 f_y - 3 f - 3 y f_y = 0$$ naar $y$: Term per term: - $\frac{\partial}{\partial y} (3 x^2 f_y) = 3 x^2 f_{yy}$ - $\frac{\partial}{\partial y} (-2 x^2 y) = -2 x^2$ - $\frac{\partial}{\partial y} (6 f^2 f_y) = 12 f f_y^2 + 6 f^2 f_{yy}$ - $\frac{\partial}{\partial y} (-3 f) = -3 f_y$ - $\frac{\partial}{\partial y} (-3 y f_y) = -3 f_y - 3 y f_{yy}$ Dus: $$3 x^2 f_{yy} - 2 x^2 + 12 f f_y^2 + 6 f^2 f_{yy} - 3 f_y - 3 f_y - 3 y f_{yy} = 0$$ Vereenvoudig: $$3 x^2 f_{yy} - 2 x^2 + 12 f f_y^2 + 6 f^2 f_{yy} - 6 f_y - 3 y f_{yy} = 0$$ 12. **Stap 11: Vul waarden in $(1,1)$ en los op voor $f_{yy}$** Vul $x=1$, $y=1$, $f=1$, $f_y = \frac{5}{6}$ in: $$3 \cdot 1^2 f_{yy} - 2 \cdot 1^2 + 12 \cdot 1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 + 6 \cdot 1^2 f_{yy} - 6 \cdot \frac{5}{6} - 3 \cdot 1 \cdot f_{yy} = 0$$ Bereken de constante termen: - $-2$ - $12 \cdot \left(\frac{25}{36}\right) = \frac{300}{36} = \frac{25}{3}$ - $-6 \cdot \frac{5}{6} = -5$ Som constanten: $$-2 + \frac{25}{3} - 5 = (-7) + \frac{25}{3} = -\frac{21}{3} + \frac{25}{3} = \frac{4}{3}$$ Sommeer de $f_{yy}$ termen: $$3 f_{yy} + 6 f_{yy} - 3 f_{yy} = 6 f_{yy}$$ De vergelijking wordt: $$6 f_{yy} + \frac{4}{3} = 0$$ $$6 f_{yy} = -\frac{4}{3}$$ $$f_{yy} = -\frac{2}{9}$$ **Eindresultaten:** $$D_1 f(1,1) = f_x(1,1) = -\frac{2}{3}$$ $$D_2 f(1,1) = f_y(1,1) = \frac{5}{6}$$ $$D^2_{11} f(1,1) = f_{xx}(1,1) = -\frac{2}{9}$$ $$D^2_{12} f(1,1) = f_{xy}(1,1) = \frac{17}{6}$$ $$D^2_{22} f(1,1) = f_{yy}(1,1) = -\frac{2}{9}$$