Question: Montrer que les graphes des fonctions $f(x) = x^2$ et $g(x) = -x^2 + 4x - 2$ ont la même tangente en $(1, 1)$. Tracer dans un même repère les graphes des deux fonctions ainsi que la tangente commune.

1. **Énoncé du problème** : Montrer que les fonctions $f(x) = x^2$ et $g(x) = -x^2 + 4x - 2$ ont la même tangente au point $(1, 1)$. Tracer les graphes de $f$, $g$ et leur tangente commune. 2. **Calcul des dérivées** : La dérivée de $f$ est $f'(x) = 2x$. La dérivée de $g$ est $g'(x) = -2x + 4$. 3. **Calcul des pentes au point $x=1$** : $f'(1) = 2 \times 1 = 2$. $g'(1) = -2 \times 1 + 4 = -2 + 4 = 2$. 4. **Vérification des points sur les courbes** : $f(1) = 1^2 = 1$. $g(1) = -(1)^2 + 4 \times 1 - 2 = -1 + 4 - 2 = 1$. Les deux fonctions passent par le point $(1, 1)$ et ont la même pente $2$ en ce point. 5. **Équation de la tangente commune** : La tangente en $x=1$ a pour pente $m=2$ et passe par $(1,1)$. Formule de la tangente : $$y = m(x - x_0) + y_0 = 2(x - 1) + 1 = 2x - 2 + 1 = 2x - 1$$ 6. **Conclusion** : Les graphes de $f$ et $g$ ont la même tangente au point $(1,1)$ donnée par $y = 2x - 1$.