Flaecheninhalt Funktionen 96603A

1. **Problemstellung:** Wir sollen die Graphen der Funktionen f und g skizzieren und den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche berechnen für die Fälle a), b) und e). --- ### a) Funktionen: $$f(x) = x^3 - x^2 - 4x + 3$$ $$g(x) = -x^2 + 3$$ **Schritte:** 1. Schnittpunkte bestimmen: Setze $$f(x) = g(x)$$ $$x^3 - x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 3$$ 2. Vereinfachen: $$x^3 - x^2 - 4x + 3 + x^2 - 3 = 0$$ $$x^3 - 4x = 0$$ 3. Faktorisieren: $$x(x^2 - 4) = 0$$ $$x(x-2)(x+2) = 0$$ 4. Schnittpunkte bei $$x = -2, 0, 2$$ 5. Flächeninhalt berechnen: $$A = \int_{-2}^2 |f(x) - g(x)| \, dx = \int_{-2}^2 |(x^3 - x^2 - 4x + 3) - (-x^2 + 3)| \, dx$$ $$= \int_{-2}^2 |x^3 - x^2 - 4x + 3 + x^2 - 3| \, dx = \int_{-2}^2 |x^3 - 4x| \, dx$$ 6. Da $$x^3 - 4x = x(x^2 - 4)$$, Vorzeichenwechsel bei $$x = -2, 0, 2$$, also Integral aufteilen: $$A = \int_{-2}^0 -(x^3 - 4x) \, dx + \int_0^2 (x^3 - 4x) \, dx$$ 7. Berechnung der Integrale: $$\int (x^3 - 4x) dx = \frac{x^4}{4} - 2x^2 + C$$ 8. Auswertung: $$\int_{-2}^0 -(x^3 - 4x) dx = -\left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^0 = -\left(0 - \left(\frac{16}{4} - 8\right)\right) = - (0 - (4 - 8)) = -(-4) = 4$$ $$\int_0^2 (x^3 - 4x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_0^2 = \left(\frac{16}{4} - 8\right) - 0 = 4 - 8 = -4$$ 9. Gesamtfläche: $$A = 4 + |-4| = 4 + 4 = 8$$ --- ### b) Funktionen: $$f(x) = 3x^3 - 9x^2$$ $$g(x) = -x^4 + 3x^3$$ **Schritte:** 1. Schnittpunkte bestimmen: Setze $$f(x) = g(x)$$ $$3x^3 - 9x^2 = -x^4 + 3x^3$$ 2. Vereinfachen: $$3x^3 - 9x^2 + x^4 - 3x^3 = 0$$ $$x^4 - 9x^2 = 0$$ 3. Faktorisieren: $$x^2(x^2 - 9) = 0$$ $$x^2(x-3)(x+3) = 0$$ 4. Schnittpunkte bei $$x = -3, 0, 3$$ 5. Flächeninhalt berechnen: $$A = \int_{-3}^3 |f(x) - g(x)| dx = \int_{-3}^3 |(3x^3 - 9x^2) - (-x^4 + 3x^3)| dx$$ $$= \int_{-3}^3 |3x^3 - 9x^2 + x^4 - 3x^3| dx = \int_{-3}^3 |x^4 - 9x^2| dx$$ 6. Da $$x^4 - 9x^2 = x^2(x^2 - 9)$$, Vorzeichenwechsel bei $$x = -3, 0, 3$$, Integral aufteilen: $$A = \int_{-3}^0 -(x^4 - 9x^2) dx + \int_0^3 (x^4 - 9x^2) dx$$ 7. Stammfunktion: $$\int (x^4 - 9x^2) dx = \frac{x^5}{5} - 3x^3 + C$$ 8. Auswertung: $$\int_{-3}^0 -(x^4 - 9x^2) dx = -\left[ \frac{x^5}{5} - 3x^3 \right]_{-3}^0 = -\left(0 - \left(-\frac{243}{5} + 81\right)\right) = -\left(0 - \left(-48.6 + 81\right)\right) = -(-32.4) = 32.4$$ $$\int_0^3 (x^4 - 9x^2) dx = \left[ \frac{x^5}{5} - 3x^3 \right]_0^3 = \left(\frac{243}{5} - 81\right) - 0 = 48.6 - 81 = -32.4$$ 9. Gesamtfläche: $$A = 32.4 + |-32.4| = 32.4 + 32.4 = 64.8$$ --- ### e) Funktionen: $$f(x) = -\frac{7}{24} x^2 + \frac{31}{24} x$$ $$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$ **Schritte:** 1. Schnittpunkte bestimmen: Setze $$f(x) = g(x)$$ $$-\frac{7}{24} x^2 + \frac{31}{24} x = \frac{1}{\sqrt{x}}$$ 2. Multipliziere beide Seiten mit $$\sqrt{x}$$ (für $$x > 0$$): $$-\frac{7}{24} x^{2} \sqrt{x} + \frac{31}{24} x \sqrt{x} = 1$$ 3. Schreibe um: $$-\frac{7}{24} x^{\frac{5}{2}} + \frac{31}{24} x^{\frac{3}{2}} = 1$$ 4. Diese Gleichung ist nicht trivial algebraisch zu lösen, wir approximieren Schnittpunkte numerisch oder schätzen: 5. Für Flächeninhalt berechnen wir das Integral vom kleineren bis größeren Schnittpunkt (angenommen $$a$$ bis $$b$$): $$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$ 6. Da $$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$ ist für $$x > 0$$ definiert, und $$f(x)$$ ist ein Polynom, bestimmen wir numerisch die Schnittpunkte (z.B. mit Näherung oder Grafik). 7. Beispiel Näherung: Für $$x=1$$ $$f(1) = -\frac{7}{24} + \frac{31}{24} = \frac{24}{24} = 1$$ $$g(1) = 1$$ Also ist $$x=1$$ ein Schnittpunkt. 8. Für $$x=4$$ $$f(4) = -\frac{7}{24} \cdot 16 + \frac{31}{24} \cdot 4 = -\frac{112}{24} + \frac{124}{24} = \frac{12}{24} = 0.5$$ $$g(4) = \frac{1}{2} = 0.5$$ Also ist $$x=4$$ ein weiterer Schnittpunkt. 9. Flächeninhalt: $$A = \int_1^4 \left( \frac{1}{\sqrt{x}} - \left(-\frac{7}{24} x^2 + \frac{31}{24} x\right) \right) dx = \int_1^4 \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{7}{24} x^2 - \frac{31}{24} x \right) dx$$ 10. Stammfunktionen: $$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 \sqrt{x} + C$$ $$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$$ $$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$$ 11. Berechnung: $$A = \left[ 2 \sqrt{x} + \frac{7}{24} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{31}{24} \cdot \frac{x^2}{2} \right]_1^4 = \left[ 2 \sqrt{x} + \frac{7}{72} x^3 - \frac{31}{48} x^2 \right]_1^4$$ 12. Auswertung bei $$x=4$$: $$2 \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$$ $$\frac{7}{72} \cdot 64 = \frac{7 \cdot 64}{72} = \frac{448}{72} = \frac{112}{18} = 6.222...$$ $$- \frac{31}{48} \cdot 16 = - \frac{31 \cdot 16}{48} = - \frac{496}{48} = -10.333...$$ Summe: $$4 + 6.222 - 10.333 = -0.111$$ 13. Auswertung bei $$x=1$$: $$2 \sqrt{1} = 2$$ $$\frac{7}{72} \cdot 1 = 0.0972$$ $$- \frac{31}{48} \cdot 1 = -0.6458$$ Summe: $$2 + 0.0972 - 0.6458 = 1.4514$$ 14. Flächeninhalt: $$A = (-0.111) - (1.4514) = -1.5624$$ Da Fläche positiv sein muss, nehmen wir Betrag: $$A \approx 1.56$$ --- **Zusammenfassung:** - a) Flächeninhalt $$= 8$$ - b) Flächeninhalt $$= 64.8$$ - e) Flächeninhalt $$\approx 1.56$$