Lemniscaat Bernoulli 6C242A

1. **Probleemstelling:** We zoeken de snijpunten van de nulniveauverzameling $N_0$ van $F$ met de x-as. Dit betekent dat we $y=0$ nemen en $F(x,0)=0$ oplossen. Formule: $$F(x,0) = (x^2 + 0)^2 - 2(x^2 - 0) = x^4 - 2x^2 = 0.$$ 2. **Oplossen van $F(x,0)=0$: ** $$x^4 - 2x^2 = 0$$ $$x^2(x^2 - 2) = 0$$ Hieruit volgt: $$x^2 = 0 \quad \text{of} \quad x^2 = 2$$ Dus: $$x = 0, \quad x = \pm \sqrt{2}.$$ De snijpunten met de x-as zijn dus: $$p_1 = (-\sqrt{2}, 0), \quad p_2 = (0,0), \quad p_3 = (\sqrt{2}, 0).$$ --- 3. **Controle of $p_4 = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ op $N_0$ ligt:** Bereken $F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$: $$x^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}, \quad y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$ $$x^2 + y^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$$ $$F = (1)^2 - 2\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right) = 1 - 2\left(\frac{2}{4}\right) = 1 - 2\times \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0.$$ Dus $p_4 \in N_0$. --- 4. **Bereken de gradient $\nabla F(x,y)$:** $$F(x,y) = (x^2 + y^2)^2 - 2(x^2 - y^2)$$ Partiële afgeleiden: $$\frac{\partial F}{\partial x} = 2(x^2 + y^2) \cdot 2x - 4x = 4x(x^2 + y^2) - 4x = 4x[(x^2 + y^2) - 1]$$ $$\frac{\partial F}{\partial y} = 2(x^2 + y^2) \cdot 2y + 4y = 4y(x^2 + y^2) + 4y = 4y[(x^2 + y^2) + 1]$$ Evaluatie in $p_4 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$: $$x^2 + y^2 = 1$$ Dus: $$\frac{\partial F}{\partial x}(p_4) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} (1 - 1) = 0$$ $$\frac{\partial F}{\partial y}(p_4) = 4 \cdot \frac{1}{2} (1 + 1) = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = 4$$ Dus: $$\nabla F(p_4) = \left(0, 4\right).$$ Volgens propositie 1.1.5.1 is de raaklijn aan $N_0$ in $p_4$ gegeven door de lijn loodrecht op $\nabla F(p_4)$, dus de raaklijn is horizontaal (want gradient wijst verticaal). --- 5. **Impliciete functiestelling (IFS) toepassen rond $p_4$: ** (a) De drie voorwaarden van de IFS zijn: - $F$ is continu differentieerbaar in een omgeving van $p_4$ (waar). - $F(p_4) = 0$ (gecontroleerd). - $\frac{\partial F}{\partial y}(p_4) \neq 0$ (want $4 \neq 0$). Dus de voorwaarden zijn voldaan. (b) Uit de IFS volgt dat er een open omgeving rond $p_4$ bestaat waarin $y$ als een afleidbare functie van $x$ kan worden geschreven, dus $y = g(x)$ met $g$ differentieerbaar. Dit bewijst dat voor punten van $N_0$ nabij $p_4$, $y$ een afleidbare functie is van $x$. --- 6. **Controle van IFS voorwaarden voor $p_1, p_2, p_3$: ** Bereken $\nabla F$ in $p_1 = (-\sqrt{2}, 0)$: $$x = -\sqrt{2}, y=0, x^2 + y^2 = 2$$ $$\frac{\partial F}{\partial x}(p_1) = 4(-\sqrt{2})(2 - 1) = 4(-\sqrt{2})(1) = -4\sqrt{2} \neq 0$$ $$\frac{\partial F}{\partial y}(p_1) = 4 \cdot 0 (2 + 1) = 0$$ Voor $p_1$ is $\frac{\partial F}{\partial y} = 0$, dus IFS kan niet direct toegepast worden om $y$ als functie van $x$ te schrijven. Voor $p_2 = (0,0)$: $$x=0, y=0, x^2 + y^2 = 0$$ $$\frac{\partial F}{\partial x}(p_2) = 4 \cdot 0 (0 - 1) = 0$$ $$\frac{\partial F}{\partial y}(p_2) = 4 \cdot 0 (0 + 1) = 0$$ Beide partiële afgeleiden zijn nul, IFS is niet toepasbaar. Voor $p_3 = (\sqrt{2}, 0)$: $$\frac{\partial F}{\partial x}(p_3) = 4(\sqrt{2})(2 - 1) = 4\sqrt{2} \neq 0$$ $$\frac{\partial F}{\partial y}(p_3) = 0$$ Ook hier is $\frac{\partial F}{\partial y} = 0$, dus IFS niet toepasbaar voor $y$ als functie van $x$. **Conclusie:** - Voor $p_1, p_3$ kan IFS niet gebruikt worden om $y$ als functie van $x$ te schrijven, maar mogelijk wel om $x$ als functie van $y$ (omdat $\frac{\partial F}{\partial x} \neq 0$). - Voor $p_2$ werkt IFS niet omdat beide partiële afgeleiden nul zijn; hier faalt de IFS en is er geen lokale functie-voorstelling. --- **Eindantwoord:** - $p_1 = (-\sqrt{2}, 0), p_2 = (0,0), p_3 = (\sqrt{2}, 0)$ zijn de snijpunten met de x-as. - $p_4 = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ligt op $N_0$. - $\nabla F(p_4) = (0,4)$, raaklijn in $p_4$ is horizontaal. - IFS is toepasbaar in $p_4$, dus $y$ is lokaal een afleidbare functie van $x$. - IFS is niet toepasbaar voor $p_1, p_2, p_3$ voor $y$ als functie van $x$; voor $p_1, p_3$ kan mogelijk $x$ als functie van $y$ wel.