Question: Seepocken sind Krebstiere, die im Meer leben. Sobald die Seepocken aus dem Ei geschlüpft sind, durchlaufen sie mehrere sogenannte Larvenstadien, bis sie das Erwachsenenstadium erreichen.
Aufgabe
Die zeitliche Entwicklung des Volumens einer bestimmten Art von Seepocken im Erwachsenenstadium kann modellhaft durch die Funktion $V$ beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
t ... Zeit in Monaten mit $0 \leq t \leq 12$
$V(t)$ ... Volumen einer Seepocke zur Zeit $t$ in mm³
Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die mittlere Änderungsrate von $V$ im Zeitintervall $[1; 4]$.
Geben Sie das Ergebnis mit der zugehörigen Einheit an.
Die mittlere Änderungsrate beträgt rund
1. **Problemstellung:**
Wir sollen die mittlere Änderungsrate der Volumenfunktion $V(t)$ einer Seepocke im Zeitintervall $[1;4]$ bestimmen.
2. **Formel für die mittlere Änderungsrate:**
Die mittlere Änderungsrate einer Funktion $V(t)$ im Intervall $[a,b]$ ist definiert als
$$\frac{V(b)-V(a)}{b-a}$$
Das bedeutet, wir berechnen die Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen und teilen durch die Intervalllänge.
3. **Werte aus der Abbildung ablesen:**
- Bei $t=1$ liegt das Volumen ungefähr bei $V(1) \approx 3.5$ mm³.
- Bei $t=4$ liegt das Volumen ungefähr bei $V(4) \approx 11.5$ mm³.
4. **Berechnung der mittleren Änderungsrate:**
$$\frac{V(4)-V(1)}{4-1} = \frac{11.5 - 3.5}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67$$
5. **Einheit:**
Da $V(t)$ in mm³ und $t$ in Monaten angegeben ist, ist die Einheit der mittleren Änderungsrate mm³ pro Monat.
**Endergebnis:**
Die mittlere Änderungsrate von $V$ im Intervall $[1;4]$ beträgt etwa $2.67$ mm³/Monat.