Edad Jose D17Dd8

1. **Planteamiento del problema:** Se busca la cantidad de fracciones propias e irreducibles con denominador de dos cifras que generan un decimal periódico mixto con dos cifras en el período y dos cifras en la parte no periódica. Esa cantidad representa la edad de José. Luego, la edad del padre es el doble. 2. **Conceptos importantes:** - Una fracción propia es aquella donde el numerador es menor que el denominador. - Una fracción irreducible es aquella que no puede simplificarse más. - Un decimal periódico mixto tiene una parte no periódica seguida de un período que se repite infinitamente. - La longitud del período y de la parte no periódica está relacionada con la factorización del denominador. 3. **Caracterización del denominador:** El denominador $D$ es un número de dos cifras, es decir, $10 \leq D \leq 99$. 4. **Condición para decimal periódico mixto con igual longitud en período y parte no periódica:** Si la fracción irreducible es $\frac{N}{D}$, y $D = 2^a 5^b m$ donde $m$ es coprimo con 10, entonces: - La parte no periódica tiene longitud $\max(a,b)$. - El período tiene longitud igual al orden multiplicativo de 10 módulo $m$. Para que la parte no periódica y el período tengan la misma longitud (2 cifras), se debe tener $\max(a,b) = 2$ y el período también de longitud 2. 5. **Buscar denominadores con $\max(a,b) = 2$:** - $a=2$ y $b=0$ implica $D$ divisible por $4$ pero no por $5$. - $a=0$ y $b=2$ implica $D$ divisible por $25$ pero no por $2$. - $a=2$ y $b=2$ implica $D$ divisible por $100$ (fuera de rango). 6. **Buscar $m$ tal que el período sea 2:** El período es la orden de 10 módulo $m$. Buscamos $m$ tal que $\text{ord}_m(10) = 2$. Los valores de $m$ con orden 2 son divisores de 99 que cumplen $10^2 \equiv 1 \pmod{m}$ pero $10 \not\equiv 1 \pmod{m}$. Los posibles $m$ son 11 y 33, ya que $10^2 = 100 \equiv 1 \pmod{11}$ y $10^2 \equiv 1 \pmod{33}$. 7. **Posibles denominadores:** - $D = 4 \times 11 = 44$ - $D = 4 \times 33 = 132$ (fuera de rango) - $D = 25 \times 11 = 275$ (fuera de rango) Solo $D=44$ cumple. 8. **Contar fracciones propias irreducibles con denominador 44:** - $\varphi(44) = 44 \times (1 - \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{11}) = 44 \times \frac{1}{2} \times \frac{10}{11} = 20$ 9. **Edad de José:** La cantidad de fracciones es 20, por lo tanto, la edad de José es $20$. 10. **Edad del padre:** El doble de 20 es $40$. **Respuesta:** D) 40