Numeros Tres Cifras Divisibles 12 5Daad3

1. **Planteamiento del problema:** Queremos encontrar cuántos números de tres cifras que terminan en $4$ son divisibles entre $12$. 2. **Reglas importantes:** Un número es divisible entre $12$ si y solo si es divisible entre $3$ y entre $4$. 3. **Condiciones del problema:** - El número tiene tres cifras, es decir, está entre $100$ y $999$. - Termina en $4$, por lo que su forma es $100a + 10b + 4$, con $a$ y $b$ dígitos. 4. **Divisibilidad por 4:** Un número es divisible por $4$ si sus dos últimas cifras forman un número divisible por $4$. Aquí, las dos últimas cifras son $b4$ (es decir, $10b + 4$). Probamos para $b=0$ a $9$ cuáles $10b + 4$ son divisibles por $4$: - $04$ divisible por $4$ (sí) - $14$ no - $24$ sí - $34$ no - $44$ sí - $54$ no - $64$ sí - $74$ no - $84$ sí - $94$ no Por lo tanto, $b$ puede ser $0,2,4,6,8$. 5. **Divisibilidad por 3:** Un número es divisible por $3$ si la suma de sus dígitos es múltiplo de $3$. Los dígitos son $a$, $b$ y $4$. Entonces, $a + b + 4$ debe ser divisible por $3$. 6. **Encontrar valores de $a$ y $b$:** - $a$ va de $1$ a $9$ (porque es un número de tres cifras). - $b$ es uno de $0,2,4,6,8$. Para cada $b$ en $\{0,2,4,6,8\}$, buscamos $a$ tal que $a + b + 4$ es múltiplo de $3$. 7. **Cálculos:** - Para $b=0$: $a + 4$ divisible por $3$. $4 \equiv 1 \pmod{3}$, entonces $a \equiv 2 \pmod{3}$. Valores de $a$ entre $1$ y $9$ con $a \equiv 2 \pmod{3}$ son $2,5,8$ (3 valores). - Para $b=2$: $a + 6$ divisible por $3$. $6 \equiv 0 \pmod{3}$, entonces $a \equiv 0 \pmod{3}$. Valores de $a$ entre $1$ y $9$ con $a \equiv 0 \pmod{3}$ son $3,6,9$ (3 valores). - Para $b=4$: $a + 8$ divisible por $3$. $8 \equiv 2 \pmod{3}$, entonces $a \equiv 1 \pmod{3}$. Valores de $a$ entre $1$ y $9$ con $a \equiv 1 \pmod{3}$ son $1,4,7$ (3 valores). - Para $b=6$: $a + 10$ divisible por $3$. $10 \equiv 1 \pmod{3}$, entonces $a \equiv 2 \pmod{3}$. Valores de $a$ son $2,5,8$ (3 valores). - Para $b=8$: $a + 12$ divisible por $3$. $12 \equiv 0 \pmod{3}$, entonces $a \equiv 0 \pmod{3}$. Valores de $a$ son $3,6,9$ (3 valores). 8. **Total de números:** Para cada $b$ hay $3$ valores de $a$, y hay $5$ valores posibles de $b$. Total $= 5 \times 3 = 15$ números. **Respuesta final:** Hay $15$ números de tres cifras que terminan en $4$ y son divisibles entre $12$.