Question: Seja $f(x) = \left(e^{x-3} + x - 3\right)^{\frac{1}{x-3}}$. Aplique de forma conveniente a Regra de L'Hôpital para resolver o limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de 3 pela direita.
1. **Enunciado do problema:**
Queremos calcular o limite
$$\lim_{x \to 3^+} \left(e^{x-3} + x - 3\right)^{\frac{1}{x-3}}.$$
2. **Análise inicial:**
Quando $x \to 3$, temos $x-3 \to 0$ e
$$e^{x-3} + x - 3 \to e^0 + 0 = 1.$$
Assim, a expressão fica da forma $1^{\infty}$, que é uma forma indeterminada.
3. **Transformação para aplicar a Regra de L'Hôpital:**
Definimos
$$y = \left(e^{x-3} + x - 3\right)^{\frac{1}{x-3}}.$$
Tomamos o logaritmo natural para facilitar o limite:
$$\ln y = \frac{1}{x-3} \ln\left(e^{x-3} + x - 3\right).$$
4. **Calcular o limite do logaritmo:**
Queremos
$$\lim_{x \to 3^+} \ln y = \lim_{x \to 3^+} \frac{\ln\left(e^{x-3} + x - 3\right)}{x-3}.$$
Esta é uma forma $\frac{0}{0}$, pois:
- Numerador: $\ln(1) = 0$
- Denominador: $0$
5. **Aplicar a Regra de L'Hôpital:**
Derivamos numerador e denominador em relação a $x$:
$$\text{Numerador}' = \frac{d}{dx} \ln\left(e^{x-3} + x - 3\right) = \frac{e^{x-3} + 1}{e^{x-3} + x - 3},$$
$$\text{Denominador}' = \frac{d}{dx} (x-3) = 1.$$
6. **Limite após aplicação da regra:**
$$\lim_{x \to 3^+} \frac{e^{x-3} + 1}{e^{x-3} + x - 3} = \frac{e^0 + 1}{e^0 + 0} = \frac{1 + 1}{1 + 0} = 2.$$
7. **Conclusão:**
Como $\lim_{x \to 3^+} \ln y = 2$, então
$$\lim_{x \to 3^+} y = e^2.$$
**Resposta final:**
$$\boxed{\lim_{x \to 3^+} \left(e^{x-3} + x - 3\right)^{\frac{1}{x-3}} = e^2}.$$