Question: (1.1) Dada la función $f(x) = -x^3 + 9x^2$, el conjunto $A = \{x \in \mathbb{R} : f'(x) < 0\}$
1. Planteamos el problema: Encontrar el conjunto $A$ donde la derivada de la función $f(x) = -x^3 + 9x^2$ es negativa, es decir, $f'(x) < 0$.
2. Calculamos la derivada de $f(x)$ usando la regla de potencia:
$$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 9x^2) = -3x^2 + 18x$$
3. Factorizamos la derivada para facilitar el análisis:
$$f'(x) = -3x^2 + 18x = -3x(x - 6)$$
4. Para encontrar dónde $f'(x) < 0$, analizamos el signo del producto $-3x(x-6)$.
5. Consideramos los puntos críticos donde $f'(x) = 0$:
$$-3x(x-6) = 0 \implies x=0 \text{ o } x=6$$
6. Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos determinados por estos puntos:
- Para $x < 0$: $x$ es negativo, $x-6$ es negativo, entonces $-3x(x-6) = -3 \times (negativo) \times (negativo) = -3 \times positivo = negativo$.
- Para $0 < x < 6$: $x$ es positivo, $x-6$ es negativo, entonces $-3 \times positivo \times negativo = -3 \times negativo = positivo$.
- Para $x > 6$: $x$ es positivo, $x-6$ es positivo, entonces $-3 \times positivo \times positivo = -3 \times positivo = negativo$.
7. Por lo tanto, $f'(x) < 0$ en los intervalos $(-\infty, 0)$ y $(6, \infty)$.
8. Concluimos que el conjunto $A$ es:
$$A = (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$$