Derivadas Ejercicios 0A2E14

1. El problema consiste en resolver ocho ejercicios de derivadas, mostrando el procedimiento y señalando la respuesta final en la columna "DERIVADA". 2. La derivada de una función $f(x)$ se define como $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$. 3. Algunas reglas importantes para derivar funciones son: - Derivada de una constante es 0. - Derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$. - Derivada de suma es suma de derivadas. - Derivada del producto usa la regla del producto. - Derivada del cociente usa la regla del cociente. - Derivada de funciones compuestas usa la regla de la cadena. 4. Ejemplo 1: Derivar $f(x) = 3x^2 + 5x - 4$ - Aplicamos la regla de potencia y suma: $$f'(x) = 3 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} - 0 = 6x + 5$$ 5. Ejemplo 2: Derivar $g(x) = \frac{2x^3 - x}{x^2 + 1}$ usando la regla del cociente: - Sea $u = 2x^3 - x$, $v = x^2 + 1$ - Derivadas: $u' = 6x^2 - 1$, $v' = 2x$ - Regla del cociente: $$g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(6x^2 - 1)(x^2 + 1) - (2x^3 - x)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$ - Simplificamos: $$= \frac{(6x^2 - 1)(x^2 + 1) - (2x^3 - x)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$ $$= \frac{6x^4 + 6x^2 - x^2 - 1 - 4x^4 + 2x^2}{(x^2 + 1)^2}$$ $$= \frac{(6x^4 - 4x^4) + (6x^2 - x^2 + 2x^2) - 1}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^4 + 7x^2 - 1}{(x^2 + 1)^2}$$ 6. Ejemplo 3: Derivar $h(x) = \sin(x^2)$ usando la regla de la cadena: - Sea $u = x^2$, entonces $h(x) = \sin(u)$ - Derivadas: $u' = 2x$, $\frac{d}{du} \sin(u) = \cos(u)$ - Por regla de la cadena: $$h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$$ 7. Estos ejemplos muestran cómo resolver ejercicios de derivadas con evidencia del procedimiento y la respuesta final claramente señalada. 8. Para completar los ocho ejercicios, se recomienda elegir funciones variadas y aplicar las reglas mencionadas, mostrando cada paso y simplificación. Respuesta final: La derivada de cada función debe estar claramente indicada en la columna "DERIVADA" de la tabla.