Integral Division D7308F

1. **Planteamiento del problema:** Resolver la integral $$\int \frac{x^4 - 5x^2 + 3x - 4}{x - 1} \, dx$$. 2. **Fórmula y regla importante:** Cuando tenemos una integral de un cociente de polinomios donde el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, primero realizamos la división de polinomios para simplificar la expresión. 3. **División de polinomios:** Dividimos $$x^4 - 5x^2 + 3x - 4$$ entre $$x - 1$$. - Dividimos $$x^4$$ entre $$x$$: obtenemos $$x^3$$. - Multiplicamos $$x^3 (x - 1) = x^4 - x^3$$. - Restamos: $$ (x^4 - 5x^2 + 3x - 4) - (x^4 - x^3) = x^3 - 5x^2 + 3x - 4$$. - Dividimos $$x^3$$ entre $$x$$: obtenemos $$x^2$$. - Multiplicamos $$x^2 (x - 1) = x^3 - x^2$$. - Restamos: $$ (x^3 - 5x^2 + 3x - 4) - (x^3 - x^2) = -4x^2 + 3x - 4$$. - Dividimos $$-4x^2$$ entre $$x$$: obtenemos $$-4x$$. - Multiplicamos $$-4x (x - 1) = -4x^2 + 4x$$. - Restamos: $$ (-4x^2 + 3x - 4) - (-4x^2 + 4x) = -x - 4$$. - Dividimos $$-x$$ entre $$x$$: obtenemos $$-1$$. - Multiplicamos $$-1 (x - 1) = -x + 1$$. - Restamos: $$ (-x - 4) - (-x + 1) = -5$$. 4. **Resultado de la división:** $$\frac{x^4 - 5x^2 + 3x - 4}{x - 1} = x^3 + x^2 - 4x - 1 + \frac{-5}{x - 1}$$ 5. **Integral descompuesta:** $$\int \frac{x^4 - 5x^2 + 3x - 4}{x - 1} \, dx = \int (x^3 + x^2 - 4x - 1) \, dx + \int \frac{-5}{x - 1} \, dx$$ 6. **Integración término a término:** - $$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}$$ - $$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$$ - $$\int (-4x) \, dx = -2x^2$$ - $$\int (-1) \, dx = -x$$ - $$\int \frac{-5}{x - 1} \, dx = -5 \ln|x - 1|$$ 7. **Resultado final:** $$\int \frac{x^4 - 5x^2 + 3x - 4}{x - 1} \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - 2x^2 - x - 5 \ln|x - 1| + C$$ Donde $$C$$ es la constante de integración.