Cambio Variables 217654

1. **Planteamiento del problema:** Queremos calcular la integral doble $$\iint_D xy(x^2 + y^2) \, dx \, dy$$ donde la región $D$ está delimitada por las curvas $$x^2 - y^2 = 9,$$ $$x^2 - y^2 = 5,$$ $$xy = 2,$$ y $$xy = 1.$$ 2. **Observación y cambio de variables:** Notamos que las curvas que delimitan $D$ son hipérbolas y rectas definidas por expresiones en $x^2 - y^2$ y $xy$. Esto sugiere usar el cambio de variables: $$u = x^2 - y^2, \quad v = xy.$$ 3. **Expresión de la integral en términos de $u$ y $v$:** La función a integrar es: $$f(x,y) = xy(x^2 + y^2) = v(x^2 + y^2).$$ 4. **Expresar $x^2 + y^2$ en función de $u$ y $v$:** Recordemos que: $$u = x^2 - y^2, \quad v = xy.$$ Además, $$ (x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = u^2 + 4v^2. $$ Por lo tanto, $$x^2 + y^2 = \sqrt{u^2 + 4v^2}.$$ 5. **Determinante Jacobiano del cambio de variables:** Para calcular el Jacobiano $J = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$, calculamos: $$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y,$$ $$\frac{\partial v}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = x.$$ Entonces, $$J = \begin{vmatrix} 2x & -2y \\ y & x \end{vmatrix} = 2x \cdot x - (-2y) \cdot y = 2x^2 + 2y^2 = 2(x^2 + y^2).$$ 6. **Invertir el Jacobiano para el cambio de variables en la integral:** Como queremos $dx dy$ en función de $du dv$, tenemos: $$dx dy = \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| du dv = \frac{1}{|J|} du dv = \frac{1}{2(x^2 + y^2)} du dv.$$ 7. **Sustitución en la integral:** La integral queda: $$\iint_D xy(x^2 + y^2) \, dx \, dy = \iint_{D'} v \cdot \sqrt{u^2 + 4v^2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{u^2 + 4v^2}} \, du \, dv = \iint_{D'} \frac{v}{2} \, du \, dv,$$ porque $x^2 + y^2 = \sqrt{u^2 + 4v^2}$ y $dx dy = \frac{1}{2(x^2 + y^2)} du dv$. 8. **Región $D'$ en el plano $uv$:** D está delimitada por: $$u = 9, \quad u = 5, \quad v = 2, \quad v = 1.$$ 9. **Integral en $u,v$:** $$\int_{v=1}^2 \int_{u=5}^9 \frac{v}{2} \, du \, dv = \int_1^2 \frac{v}{2} (9 - 5) \, dv = \int_1^2 2v \, dv = 2 \int_1^2 v \, dv.$$ 10. **Calcular la integral:** $$2 \int_1^2 v \, dv = 2 \left[ \frac{v^2}{2} \right]_1^2 = 2 \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3.$$ **Respuesta final:** $$\boxed{3}.$$