Question: Resuelve integral de superficie
Evalúe la integral de superficie $$\iint_S z\, dS$$, donde $$S$$ es la parte del paraboloide
$$z = x^2 + y^2$$, que está por debajo del plano $$z = 4$$
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos evaluar la integral de superficie $$\iint_S z\, dS$$, donde $$S$$ es la parte del paraboloide $$z = x^2 + y^2$$ que está por debajo del plano $$z = 4$$.
2. **Descripción de la superficie:**
El paraboloide está dado por $$z = x^2 + y^2$$.
La intersección con el plano $$z = 4$$ ocurre cuando $$x^2 + y^2 = 4$$, es decir, un círculo de radio $$2$$ en el plano $$xy$$.
3. **Fórmula para la integral de superficie de una función $$f(x,y,z)$$ sobre una superficie $$S$$ dada por $$z = g(x,y)$$:**
$$\iint_S f(x,y,z)\, dS = \iint_D f(x,y,g(x,y)) \sqrt{1 + \left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^2} \, dA$$
Donde $$D$$ es la proyección de $$S$$ en el plano $$xy$$.
4. **Calcular las derivadas parciales:**
$$\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x$$
$$\frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y$$
5. **Calcular el factor bajo la raíz:**
$$1 + (2x)^2 + (2y)^2 = 1 + 4x^2 + 4y^2$$
6. **Reescribir la integral:**
$$\iint_S z\, dS = \iint_D (x^2 + y^2) \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2} \, dA$$
7. **Usar coordenadas polares para simplificar la integral:**
Sea $$x = r\cos\theta$$, $$y = r\sin\theta$$, con $$r \in [0,2]$$ y $$\theta \in [0, 2\pi]$$.
Entonces:
- $$x^2 + y^2 = r^2$$
- $$1 + 4x^2 + 4y^2 = 1 + 4r^2$$
- $$dA = r \, dr \, d\theta$$
8. **Integral en coordenadas polares:**
$$\int_0^{2\pi} \int_0^2 r^2 \sqrt{1 + 4r^2} \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3 \sqrt{1 + 4r^2} \, dr \, d\theta$$
9. **Separar la integral angular:**
$$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$$
10. **Integral radial:**
$$I = \int_0^2 r^3 \sqrt{1 + 4r^2} \, dr$$
11. **Sustitución para resolver la integral radial:**
Sea $$u = 1 + 4r^2 \Rightarrow du = 8r \, dr \Rightarrow r \, dr = \frac{du}{8}$$
Además, $$r^2 = \frac{u - 1}{4}$$, entonces:
$$r^3 dr = r^2 \cdot r dr = \frac{u - 1}{4} \cdot \frac{du}{8} = \frac{u - 1}{32} du$$
12. **Reescribir la integral en términos de $$u$$:**
Los límites cuando $$r=0$$, $$u=1$$; cuando $$r=2$$, $$u=1 + 4(4) = 17$$.
$$I = \int_1^{17} \frac{u - 1}{32} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{32} \int_1^{17} (u - 1) u^{1/2} \, du$$
13. **Expandir el integrando:**
$$(u - 1) u^{1/2} = u^{3/2} - u^{1/2}$$
14. **Integral:**
$$I = \frac{1}{32} \int_1^{17} (u^{3/2} - u^{1/2}) \, du = \frac{1}{32} \left[ \int_1^{17} u^{3/2} \, du - \int_1^{17} u^{1/2} \, du \right]$$
15. **Calcular cada integral:**
$$\int u^{3/2} du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} u^{5/2}$$
$$\int u^{1/2} du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2}$$
16. **Evaluar en los límites:**
$$I = \frac{1}{32} \left[ \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{17} = \frac{1}{32} \left( \frac{2}{5} 17^{5/2} - \frac{2}{3} 17^{3/2} - \left( \frac{2}{5} 1^{5/2} - \frac{2}{3} 1^{3/2} \right) \right)$$
17. **Simplificar:**
$$I = \frac{1}{32} \left( \frac{2}{5} 17^{5/2} - \frac{2}{3} 17^{3/2} - \frac{2}{5} + \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{32} \left( \frac{2}{5} 17^{5/2} - \frac{2}{3} 17^{3/2} + \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right)$$
18. **Factorizar el 2:**
$$I = \frac{1}{16} \left( \frac{1}{5} 17^{5/2} - \frac{1}{3} 17^{3/2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)$$
19. **Integral total:**
$$\iint_S z \, dS = 2\pi \cdot I = 2\pi \cdot \frac{1}{16} \left( \frac{1}{5} 17^{5/2} - \frac{1}{3} 17^{3/2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \frac{\pi}{8} \left( \frac{1}{5} 17^{5/2} - \frac{1}{3} 17^{3/2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)$$
20. **Respuesta final:**
$$\boxed{\iint_S z \, dS = \frac{\pi}{8} \left( \frac{1}{5} 17^{5/2} - \frac{1}{3} 17^{3/2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)}$$