Integral Triple Solido 58A566

1. **Planteamiento del problema:** Calcular la integral triple $$\iiint_W z \, dx \, dy \, dz$$ donde $$W$$ está limitado por la superficie superior de un semiesfera $$z = \sqrt{8 - x^2 - y^2}$$ y la superficie inferior de un paraboloide $$z = \frac{x^2 + y^2}{2}$$. 2. **Descripción de las superficies y región:** - La superficie superior es un semiesfera de radio $$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$. - La superficie inferior es un paraboloide que abre hacia arriba. 3. **Encontrar la curva de intersección:** Igualamos las dos expresiones de $$z$$ para hallar la frontera: $$\sqrt{8 - x^2 - y^2} = \frac{x^2 + y^2}{2}$$ Elevamos al cuadrado ambos lados: $$8 - x^2 - y^2 = \frac{(x^2 + y^2)^2}{4}$$ Multiplicamos todo por 4 para eliminar denominadores: $$32 - 4(x^2 + y^2) = (x^2 + y^2)^2$$ Sea $$r^2 = x^2 + y^2$$, entonces: $$32 - 4r^2 = r^4$$ Reordenamos: $$r^4 + 4r^2 - 32 = 0$$ 4. **Resolver la ecuación cuadrática en $$r^2$$:** Sea $$u = r^2$$, entonces: $$u^2 + 4u - 32 = 0$$ Usamos la fórmula cuadrática: $$u = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-4 \pm 12}{2}$$ Soluciones: - $$u_1 = \frac{-4 + 12}{2} = 4$$ - $$u_2 = \frac{-4 - 12}{2} = -8$$ (descartamos porque $$r^2 \geq 0$$) Por lo tanto, la curva de intersección es $$r^2 = 4$$ o $$r = 2$$. 5. **Límites de integración en coordenadas cilíndricas:** - $$0 \leq \theta \leq 2\pi$$ - $$0 \leq r \leq 2$$ - $$z$$ varía entre el paraboloide y la semiesfera: $$\frac{r^2}{2} \leq z \leq \sqrt{8 - r^2}$$ 6. **Expresar la integral en coordenadas cilíndricas:** Recordando que $$x = r\cos\theta$$, $$y = r\sin\theta$$ y el elemento de volumen es $$dV = r \, dz \, dr \, d\theta$$. La integral queda: $$\int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_{\frac{r^2}{2}}^{\sqrt{8 - r^2}} z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta$$ 7. **Integrar respecto a $$z$$:** $$\int_{\frac{r^2}{2}}^{\sqrt{8 - r^2}} z r \, dz = r \left[ \frac{z^2}{2} \right]_{z=\frac{r^2}{2}}^{z=\sqrt{8 - r^2}} = r \left( \frac{(\sqrt{8 - r^2})^2}{2} - \frac{\left(\frac{r^2}{2}\right)^2}{2} \right)$$ Simplificamos: $$= r \left( \frac{8 - r^2}{2} - \frac{r^4}{8} \right) = r \left( 4 - \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{8} \right)$$ 8. **Integral restante:** $$\int_0^{2\pi} \int_0^2 r \left( 4 - \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{8} \right) dr d\theta = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^2 \left(4r - \frac{r^3}{2} - \frac{r^5}{8} \right) dr \right) d\theta$$ 9. **Integrar respecto a $$r$$:** $$\int_0^2 4r \, dr = 4 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^2 = 4 \cdot 2 = 8$$ $$\int_0^2 \frac{r^3}{2} \, dr = \frac{1}{2} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$$ $$\int_0^2 \frac{r^5}{8} \, dr = \frac{1}{8} \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^2 = \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$ 10. **Sumamos las integrales con sus signos:** $$8 - 2 - \frac{4}{3} = 6 - \frac{4}{3} = \frac{18}{3} - \frac{4}{3} = \frac{14}{3}$$ 11. **Integrar respecto a $$\theta$$:** $$\int_0^{2\pi} \frac{14}{3} d\theta = \frac{14}{3} \cdot 2\pi = \frac{28\pi}{3}$$ **Respuesta final:** $$\boxed{\frac{28\pi}{3}}$$