Campo Conservativo 2A5D1F

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un campo vectorial $$F(x,y) = (y^2, 2xy)$$ y queremos: a) Verificar si $F$ es conservativo y encontrar la función potencial $f(x,y)$ si existe. b) Calcular el trabajo realizado al mover la partícula desde $(0,0)$ hasta $(2,1)$ por la curva $y=\frac{x}{2}$. c) Determinar si el trabajo cambia con una trayectoria diferente y justificar con el teorema fundamental de las integrales de línea. --- 2. **Verificación de si $F$ es conservativo:** Un campo vectorial $F = (P, Q)$ es conservativo si existe una función escalar $f(x,y)$ tal que: $$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) = (P, Q)$$ Además, para campos en $\mathbb{R}^2$ con componentes continuas y derivadas parciales continuas, $F$ es conservativo si y solo si: $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$ Dado: $$P = y^2, \quad Q = 2xy$$ Calculamos: $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 2y$$ $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y$$ Como $$\frac{\partial P}{\partial y} = 2y = \frac{\partial Q}{\partial x}$$ entonces $F$ es conservativo. --- 3. **Encontrar la función potencial $f(x,y)$:** Sabemos que: $$\frac{\partial f}{\partial x} = P = y^2$$ Integrando respecto a $x$: $$f(x,y) = \int y^2 \, dx = y^2 x + h(y)$$ Donde $h(y)$ es una función de $y$. Ahora derivamos $f$ respecto a $y$: $$\frac{\partial f}{\partial y} = 2yx + h'(y)$$ Pero también debe ser igual a $Q = 2xy$: $$2yx + h'(y) = 2xy$$ Esto implica: $$h'(y) = 0$$ Por lo tanto, $h(y)$ es constante y podemos tomar $h(y) = C$. La función potencial es: $$f(x,y) = xy^2 + C$$ --- 4. **Calcular el trabajo a lo largo de la trayectoria $y=\frac{x}{2}$ desde $(0,0)$ hasta $(2,1)$:** Para un campo conservativo, el trabajo realizado es la diferencia de la función potencial en los puntos inicial y final: $$W = f(2,1) - f(0,0)$$ Calculamos: $$f(2,1) = 2 \times 1^2 = 2$$ $$f(0,0) = 0 \times 0^2 = 0$$ Por lo tanto: $$W = 2 - 0 = 2$$ --- 5. **¿Cambiaría el trabajo si la trayectoria fuera diferente?** Según el teorema fundamental de las integrales de línea para campos conservativos, el trabajo realizado por el campo $F$ al mover una partícula entre dos puntos depende solo de esos puntos y no de la trayectoria seguida. Por lo tanto, aunque la trayectoria sea una curva parabólica u otra, el trabajo será el mismo, es decir, $2$. --- **Respuesta final:** - a) $F$ es conservativo y la función potencial es $$f(x,y) = xy^2 + C$$. - b) El trabajo realizado desde $(0,0)$ hasta $(2,1)$ es $$2$$. - c) El trabajo no cambia con la trayectoria debido al teorema fundamental de las integrales de línea para campos conservativos.