Question: Un campo de fuerzas $F(x,y)=(y,x)$ actúa sobre una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria cerrada $C$ formada por el cuadrado con vértices en $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ y $(0,1)$, recorrido en sentido antihorario.
a) Parametriza cada segmento del cuadrado.
b) Calcula el trabajo total realizado por el campo de fuerzas a lo largo de la trayectoria cerrada (circulación).
c) ¿El campo $F$ es conservativo? Justifica tu respuesta.
d) Si el campo fuera conservativo, ¿cuánto valdría la circulación? Explica.
1. **Planteamiento del problema:**
Tenemos un campo vectorial $F(x,y) = (y, x)$ y una trayectoria cerrada $C$ que es un cuadrado con vértices en $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ y $(0,1)$ recorrido en sentido antihorario.
Queremos:
a) Parametrizar cada lado del cuadrado.
b) Calcular el trabajo (circulación) de $F$ a lo largo de $C$.
c) Determinar si $F$ es conservativo.
d) Si $F$ fuera conservativo, calcular la circulación.
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2. **a) Parametrización de cada segmento:**
- Lado 1: de $(0,0)$ a $(1,0)$
$$\mathbf{r}_1(t) = (t, 0), \quad t \in [0,1]$$
- Lado 2: de $(1,0)$ a $(1,1)$
$$\mathbf{r}_2(t) = (1, t), \quad t \in [0,1]$$
- Lado 3: de $(1,1)$ a $(0,1)$
$$\mathbf{r}_3(t) = (1 - t, 1), \quad t \in [0,1]$$
- Lado 4: de $(0,1)$ a $(0,0)$
$$\mathbf{r}_4(t) = (0, 1 - t), \quad t \in [0,1]$$
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3. **b) Cálculo del trabajo total (circulación):**
El trabajo o circulación se calcula con la integral de línea:
$$W = \oint_C F \cdot d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^4 \int_0^1 F(\mathbf{r}_i(t)) \cdot \mathbf{r}_i'(t) dt$$
Calculamos cada integral:
- Para $\mathbf{r}_1(t)$:
$$F(\mathbf{r}_1(t)) = (0, t)$$
$$\mathbf{r}_1'(t) = (1, 0)$$
$$F \cdot \mathbf{r}_1' = 0 \cdot 1 + t \cdot 0 = 0$$
$$\int_0^1 0 dt = 0$$
- Para $\mathbf{r}_2(t)$:
$$F(\mathbf{r}_2(t)) = (t, 1)$$
$$\mathbf{r}_2'(t) = (0, 1)$$
$$F \cdot \mathbf{r}_2' = t \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$$
$$\int_0^1 1 dt = 1$$
- Para $\mathbf{r}_3(t)$:
$$F(\mathbf{r}_3(t)) = (1, 1 - t)$$
$$\mathbf{r}_3'(t) = (-1, 0)$$
$$F \cdot \mathbf{r}_3' = 1 \cdot (-1) + (1 - t) \cdot 0 = -1$$
$$\int_0^1 -1 dt = -1$$
- Para $\mathbf{r}_4(t)$:
$$F(\mathbf{r}_4(t)) = (1 - t, 0)$$
$$\mathbf{r}_4'(t) = (0, -1)$$
$$F \cdot \mathbf{r}_4' = (1 - t) \cdot 0 + 0 \cdot (-1) = 0$$
$$\int_0^1 0 dt = 0$$
Sumamos todos:
$$W = 0 + 1 - 1 + 0 = 0$$
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4. **c) ¿Es $F$ conservativo?**
Un campo vectorial $F = (P, Q)$ es conservativo si $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ en un dominio simplemente conexo.
Aquí:
$$P = y, \quad Q = x$$
Calculamos:
$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial y} = 1$$
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1$$
Como son iguales y el dominio (el cuadrado) es simplemente conexo, $F$ es conservativo.
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5. **d) Si $F$ fuera conservativo, ¿cuánto valdría la circulación?**
Para campos conservativos, la circulación a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es cero.
Esto coincide con el resultado del inciso b), donde $W=0$.
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**Respuesta final:**
- a) Parametrizaciones dadas.
- b) Trabajo total $W=0$.
- c) $F$ es conservativo porque $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ y el dominio es simplemente conexo.
- d) La circulación sería cero para cualquier trayectoria cerrada si $F$ es conservativo.