Circulacion Campo 1Ae9F7

1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una circunferencia dada por la ecuación $$x^2 + y^2 = 9$$ y un campo vectorial $$\mathbf{v}(x,y) = (-y, x)$$. Se pide: a) Parametrizar la circunferencia en sentido antihorario y calcular su vector tangente. Además, describir cómo cambiaría la parametrización para sentido horario. b) Parametrizar cada segmento del cuadrado con vértices en $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ y $(0,1)$, calcular la circulación $$\oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r}$$ y explicar el significado físico y el signo de la circulación. --- 2. **Parte a) Parametrización de la circunferencia en sentido antihorario:** La circunferencia tiene radio $$r = 3$$ porque $$x^2 + y^2 = 9$$. Una parametrización estándar en sentido antihorario es: $$\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t)) = (3\cos t, 3\sin t), \quad t \in [0, 2\pi]$$ El vector tangente es la derivada respecto a $$t$$: $$\mathbf{r}'(t) = (-3\sin t, 3\cos t)$$ 3. **Parametrización en sentido horario:** Para recorrer la circunferencia en sentido horario, invertimos el sentido del parámetro: $$\mathbf{r}(t) = (3\cos t, -3\sin t), \quad t \in [0, 2\pi]$$ El vector tangente en este caso es: $$\mathbf{r}'(t) = (-3\sin t, -3\cos t)$$ --- 4. **Parte b) Parametrización de cada segmento del cuadrado:** Los vértices son: $$A = (0,0), B = (1,0), C = (1,1), D = (0,1)$$ Los segmentos son: - Segmento $AB$: de $A$ a $B$ $$\mathbf{r}_1(t) = (t, 0), \quad t \in [0,1]$$ - Segmento $BC$: de $B$ a $C$ $$\mathbf{r}_2(t) = (1, t), \quad t \in [0,1]$$ - Segmento $CD$: de $C$ a $D$ $$\mathbf{r}_3(t) = (1 - t, 1), \quad t \in [0,1]$$ - Segmento $DA$: de $D$ a $A$ $$\mathbf{r}_4(t) = (0, 1 - t), \quad t \in [0,1]$$ 5. **Cálculo de la circulación $$\oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r}$$:** La circulación es la integral de línea del campo $$\mathbf{v}$$ a lo largo de la curva cerrada $$C$$: $$\oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^4 \int_0^1 \mathbf{v}(\mathbf{r}_i(t)) \cdot \mathbf{r}_i'(t) dt$$ Calculamos cada integral: - Para $AB$: $$\mathbf{r}_1(t) = (t,0), \quad \mathbf{r}_1'(t) = (1,0)$$ $$\mathbf{v}(\mathbf{r}_1(t)) = (-0, t) = (0, t)$$ Producto punto: $$\mathbf{v} \cdot \mathbf{r}_1' = 0 \cdot 1 + t \cdot 0 = 0$$ Integral: $$\int_0^1 0 dt = 0$$ - Para $BC$: $$\mathbf{r}_2(t) = (1, t), \quad \mathbf{r}_2'(t) = (0,1)$$ $$\mathbf{v}(\mathbf{r}_2(t)) = (-t, 1)$$ Producto punto: $$(-t) \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$$ Integral: $$\int_0^1 1 dt = 1$$ - Para $CD$: $$\mathbf{r}_3(t) = (1 - t, 1), \quad \mathbf{r}_3'(t) = (-1, 0)$$ $$\mathbf{v}(\mathbf{r}_3(t)) = (-1, 1 - t)$$ Producto punto: $$(-1) \cdot (-1) + (1 - t) \cdot 0 = 1$$ Integral: $$\int_0^1 1 dt = 1$$ - Para $DA$: $$\mathbf{r}_4(t) = (0, 1 - t), \quad \mathbf{r}_4'(t) = (0, -1)$$ $$\mathbf{v}(\mathbf{r}_4(t)) = (-(1 - t), 0) = (t - 1, 0)$$ Producto punto: $$(t - 1) \cdot 0 + 0 \cdot (-1) = 0$$ Integral: $$\int_0^1 0 dt = 0$$ 6. **Suma total de la circulación:** $$0 + 1 + 1 + 0 = 2$$ --- 7. **Significado físico y signo de la circulación:** La circulación mide la tendencia del campo vectorial a "rotar" o "hacer girar" alrededor de la curva cerrada. - Un valor positivo indica que el campo tiene una rotación en sentido antihorario alrededor de la curva. - En este caso, la circulación positiva $$2$$ indica que el campo $$\mathbf{v}$$ induce una rotación antihoraria alrededor del cuadrado. --- **Respuesta final:** a) Parametrización antihoraria: $$\mathbf{r}(t) = (3\cos t, 3\sin t)$$ con vector tangente $$\mathbf{r}'(t) = (-3\sin t, 3\cos t)$$. Parametrización horaria: $$\mathbf{r}(t) = (3\cos t, -3\sin t)$$ con vector tangente $$\mathbf{r}'(t) = (-3\sin t, -3\cos t)$$. b) Circulación a lo largo del cuadrado: $$2$$. Significado: el campo induce rotación antihoraria alrededor del cuadrado. El signo positivo indica sentido antihorario de la circulación.