Flujo Esfera C7F762

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos una esfera de radio $R=2$ y un campo vectorial $F(x,y,z) = (x^2, y^2, z^2)$. Queremos calcular el flujo total de $F$ a través de la superficie esférica orientada hacia afuera. 2. **Parametrización de la esfera:** La esfera de radio $R=2$ se puede parametrizar usando coordenadas esféricas: $$\begin{cases} x = 2 \sin\phi \cos\theta \\ y = 2 \sin\phi \sin\theta \\ z = 2 \cos\phi \end{cases}$$ con $\phi \in [0, \pi]$ y $\theta \in [0, 2\pi]$. 3. **Fórmula para el flujo:** El flujo de un campo vectorial $F$ a través de una superficie $S$ con vector normal unitario $n$ es: $$\iint_S F \cdot n \, dS$$ Para una superficie parametrizada por $\mathbf{r}(\phi, \theta)$, el vector diferencial de área es: $$d\mathbf{S} = n \, dS = \mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta \, d\phi d\theta$$ 4. **Cálculo de los vectores tangentes:** Calculamos las derivadas parciales: $$\mathbf{r}_\phi = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} = (2 \cos\phi \cos\theta, 2 \cos\phi \sin\theta, -2 \sin\phi)$$ $$\mathbf{r}_\theta = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (-2 \sin\phi \sin\theta, 2 \sin\phi \cos\theta, 0)$$ 5. **Producto cruzado para el vector área:** $$\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 \cos\phi \cos\theta & 2 \cos\phi \sin\theta & -2 \sin\phi \\ -2 \sin\phi \sin\theta & 2 \sin\phi \cos\theta & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante: $$= \mathbf{i} \left(2 \cos\phi \sin\theta \cdot 0 - (-2 \sin\phi) \cdot 2 \sin\phi \cos\theta \right) - \mathbf{j} \left(2 \cos\phi \cos\theta \cdot 0 - (-2 \sin\phi) \cdot (-2 \sin\phi \sin\theta) \right) + \mathbf{k} \left(2 \cos\phi \cos\theta \cdot 2 \sin\phi \cos\theta - 2 \cos\phi \sin\theta \cdot (-2 \sin\phi \sin\theta) \right)$$ Simplificando: $$= \mathbf{i} (4 \sin^2\phi \cos\theta) - \mathbf{j} (4 \sin^2\phi \sin\theta) + \mathbf{k} (4 \cos\phi \sin\phi (\cos^2\theta + \sin^2\theta))$$ Como $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$: $$= (4 \sin^2\phi \cos\theta, -4 \sin^2\phi \sin\theta, 4 \cos\phi \sin\phi)$$ 6. **Evaluar el campo $F$ en la parametrización:** Recordando que: $$x = 2 \sin\phi \cos\theta, \quad y = 2 \sin\phi \sin\theta, \quad z = 2 \cos\phi$$ Entonces: $$F(\mathbf{r}(\phi, \theta)) = (x^2, y^2, z^2) = (4 \sin^2\phi \cos^2\theta, 4 \sin^2\phi \sin^2\theta, 4 \cos^2\phi)$$ 7. **Producto punto $F \cdot (\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta)$:** $$= 4 \sin^2\phi \cos^2\theta \cdot 4 \sin^2\phi \cos\theta + 4 \sin^2\phi \sin^2\theta \cdot (-4 \sin^2\phi \sin\theta) + 4 \cos^2\phi \cdot 4 \cos\phi \sin\phi$$ Simplificando cada término: - Primer término: $$16 \sin^4\phi \cos^3\theta$$ - Segundo término: $$-16 \sin^4\phi \sin^3\theta$$ - Tercer término: $$16 \cos^3\phi \sin\phi$$ Por lo tanto: $$F \cdot (\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta) = 16 \sin^4\phi \cos^3\theta - 16 \sin^4\phi \sin^3\theta + 16 \cos^3\phi \sin\phi$$ 8. **Integrar sobre $\phi$ y $\theta$ para obtener el flujo:** El flujo es: $$\iint_S F \cdot n \, dS = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi F \cdot (\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_\theta) \, d\phi d\theta$$ Separando la integral: $$= 16 \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin^4\phi \cos^3\theta \, d\phi d\theta - 16 \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin^4\phi \sin^3\theta \, d\phi d\theta + 16 \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \cos^3\phi \sin\phi \, d\phi d\theta$$ Como las integrales en $\phi$ y $\theta$ son independientes, podemos separar: $$= 16 \left( \int_0^\pi \sin^4\phi \, d\phi \right) \left( \int_0^{2\pi} \cos^3\theta \, d\theta \right) - 16 \left( \int_0^\pi \sin^4\phi \, d\phi \right) \left( \int_0^{2\pi} \sin^3\theta \, d\theta \right) + 16 \left( \int_0^\pi \cos^3\phi \sin\phi \, d\phi \right) \left( \int_0^{2\pi} d\theta \right)$$ 9. **Evaluar las integrales en $\theta$:** - $$\int_0^{2\pi} \cos^3\theta \, d\theta = 0$$ (porque $\cos^3\theta$ es función impar en el intervalo completo) - $$\int_0^{2\pi} \sin^3\theta \, d\theta = 0$$ (por la misma razón) - $$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$$ 10. **Evaluar las integrales en $\phi$ restantes:** Solo queda: $$16 \cdot 2\pi \int_0^\pi \cos^3\phi \sin\phi \, d\phi$$ Hacemos el cambio de variable: $$u = \cos\phi \Rightarrow du = -\sin\phi \, d\phi$$ Cuando $\phi=0$, $u=1$; cuando $\phi=\pi$, $u=-1$. Entonces: $$\int_0^\pi \cos^3\phi \sin\phi \, d\phi = -\int_1^{-1} u^3 \, du = \int_{-1}^1 u^3 \, du$$ 11. **Integrar $u^3$ de $-1$ a $1$:** $$\int_{-1}^1 u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{-1}^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$$ 12. **Conclusión:** El flujo total es: $$16 \cdot 2\pi \cdot 0 = 0$$ 13. **Significado físico del flujo positivo o negativo:** - Un flujo positivo indica que el campo vectorial $F$ está saliendo de la superficie, es decir, hay un flujo neto hacia afuera. - Un flujo negativo indica que el campo vectorial $F$ está entrando a la superficie, es decir, hay un flujo neto hacia adentro. - En este caso, el flujo es cero, lo que significa que no hay flujo neto a través de la superficie; la cantidad que entra es igual a la que sale.