Question: Resolver problema Independencia de la trayectoria
Sea el campo vectorial $F(x,y)=(3x^2 y^3+y^4,3x^3 y^2+y^4+4xy^3)$
a) Demuestra que el campo es independiente de la trayectoria.
b) Utiliza el Teorema Fundamental de las integrales de línea para evaluar la integral $\int_1^C F \cdot dx$, donde $C$ es el segmento de línea de $(1,2)$ a $(-1,3)$.
1. **Planteamiento del problema:**
Tenemos el campo vectorial $$F(x,y) = (3x^2 y^3 + y^4, 3x^3 y^2 + y^4 + 4xy^3)$$
Queremos:
a) Demostrar que $F$ es independiente de la trayectoria.
b) Calcular la integral de línea $$\int_C F \cdot d\mathbf{r}$$ donde $C$ es el segmento de línea que va de $(1,2)$ a $(-1,3)$.
2. **Demostración de independencia de la trayectoria:**
Un campo vectorial $F = (P,Q)$ es independiente de la trayectoria si es conservativo, es decir, si existe una función escalar $\phi(x,y)$ tal que $$\nabla \phi = F$$
Una condición necesaria y suficiente para que $F$ sea conservativo en un dominio simplemente conexo es que $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$
Aquí, $P = 3x^2 y^3 + y^4$ y $Q = 3x^3 y^2 + y^4 + 4xy^3$.
Calculemos las derivadas parciales:
$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 y^3 + y^4) = 3x^2 \cdot 3y^2 + 4y^3 = 9x^2 y^2 + 4y^3$$
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3x^3 y^2 + y^4 + 4xy^3) = 3 \cdot 3x^2 y^2 + 0 + 4 y^3 = 9x^2 y^2 + 4y^3$$
Como $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$, el campo $F$ es conservativo y por tanto independiente de la trayectoria.
3. **Encontrar la función potencial $\phi(x,y)$:**
Como $$\nabla \phi = (P,Q)$$, entonces:
$$\frac{\partial \phi}{\partial x} = P = 3x^2 y^3 + y^4$$
Integramos respecto a $x$:
$$\phi(x,y) = \int (3x^2 y^3 + y^4) dx = y^3 \int 3x^2 dx + y^4 \int 1 dx = y^3 x^3 + y^4 x + h(y)$$
Donde $h(y)$ es una función de $y$.
Ahora derivamos $\phi$ respecto a $y$:
$$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 3y^2 x^3 + 4y^3 x + h'(y)$$
Esto debe ser igual a $Q$:
$$3x^3 y^2 + y^4 + 4xy^3 = 3y^2 x^3 + 4y^3 x + y^4$$
Comparando:
$$3y^2 x^3 + 4y^3 x + h'(y) = 3y^2 x^3 + 4y^3 x + y^4$$
Por lo tanto:
$$h'(y) = y^4$$
Integrando:
$$h(y) = \int y^4 dy = \frac{y^5}{5} + C$$
Finalmente, la función potencial es:
$$\phi(x,y) = y^3 x^3 + y^4 x + \frac{y^5}{5} + C$$
4. **Evaluar la integral de línea usando el Teorema Fundamental de las integrales de línea:**
El teorema dice que para un campo conservativo:
$$\int_C F \cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{r}(b)) - \phi(\mathbf{r}(a))$$
Donde $\mathbf{r}(a) = (1,2)$ y $\mathbf{r}(b) = (-1,3)$.
Calculemos:
$$\phi(1,2) = 2^3 \cdot 1^3 + 2^4 \cdot 1 + \frac{2^5}{5} = 8 + 16 + \frac{32}{5} = 24 + 6.4 = 30.4$$
$$\phi(-1,3) = 3^3 \cdot (-1)^3 + 3^4 \cdot (-1) + \frac{3^5}{5} = 27 \cdot (-1) + 81 \cdot (-1) + \frac{243}{5} = -27 - 81 + 48.6 = -108 + 48.6 = -59.4$$
Por lo tanto:
$$\int_C F \cdot d\mathbf{r} = \phi(-1,3) - \phi(1,2) = -59.4 - 30.4 = -89.8$$
**Respuesta final:**
a) El campo $F$ es independiente de la trayectoria porque es conservativo.
b) La integral de línea es $$-89.8$$.