Masa Techo Ce5D20

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos una superficie dada por $$z=4-x^2-y^2$$ con $$z\geq0$$, que representa la forma del techo. La densidad superficial es $$\rho(x,y,z)=z$$. Queremos: a) Parametrizar la superficie. b) Calcular la masa total del techo. c) Interpretar físicamente la integral de superficie. 2. **Parametrización de la superficie:** La superficie es un paraboloide invertido truncado donde $$z\geq0$$ implica $$4-x^2-y^2\geq0$$ o $$x^2+y^2\leq4$$. Usamos coordenadas polares para parametrizar: $$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=4-r^2$$ con $$0\leq r \leq 2$$ y $$0\leq \theta \leq 2\pi$$. Entonces la parametrización es: $$\mathbf{r}(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, 4-r^2)$$. 3. **Cálculo de la masa total:** La masa total $$M$$ es la integral de la densidad sobre la superficie: $$M = \iint_S \rho(x,y,z) \, dS$$ Donde $$dS$$ es el elemento de área de la superficie. Para una superficie parametrizada por $$\mathbf{r}(r,\theta)$$, el elemento de área es: $$dS = \left| \mathbf{r}_r \times \mathbf{r}_\theta \right| dr d\theta$$ Calculamos las derivadas parciales: $$\mathbf{r}_r = (\cos\theta, \sin\theta, -2r)$$ $$\mathbf{r}_\theta = (-r\sin\theta, r\cos\theta, 0)$$ El producto cruzado es: $$\mathbf{r}_r \times \mathbf{r}_\theta = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cos\theta & \sin\theta & -2r \\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix} = (2r^2\cos\theta, 2r^2\sin\theta, r)$$ La magnitud es: $$\left| \mathbf{r}_r \times \mathbf{r}_\theta \right| = \sqrt{(2r^2\cos\theta)^2 + (2r^2\sin\theta)^2 + r^2} = \sqrt{4r^4 + r^2} = \sqrt{r^2(4r^2 + 1)} = r\sqrt{4r^2 + 1}$$ La densidad en función de $$r, \theta$$ es: $$\rho = z = 4 - r^2$$ Entonces la masa es: $$M = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) \cdot r \sqrt{4r^2 + 1} \, dr d\theta$$ 4. **Evaluación de la integral:** Primero integramos respecto a $$r$$: $$I = \int_0^2 (4r - r^3) \sqrt{4r^2 + 1} \, dr$$ Hacemos el cambio de variable: $$u = 4r^2 + 1 \Rightarrow du = 8r dr \Rightarrow r dr = \frac{du}{8}$$ Reescribimos la integral: $$I = \int_{u=1}^{u=17} (4r - r^3) \sqrt{u} \frac{du}{r8}$$ Pero necesitamos expresar $$4r - r^3$$ en términos de $$u$$ y $$r$$: Notamos que $$r^2 = \frac{u-1}{4}$$, entonces: $$4r - r^3 = r(4 - r^2) = r \left(4 - \frac{u-1}{4}\right) = r \left(\frac{16 - (u-1)}{4}\right) = r \frac{17 - u}{4}$$ Entonces: $$I = \int_1^{17} r \frac{17 - u}{4} \sqrt{u} \frac{du}{8r} = \int_1^{17} \frac{17 - u}{32} \sqrt{u} \, du$$ Simplificamos: $$I = \frac{1}{32} \int_1^{17} (17 - u) u^{1/2} \, du = \frac{1}{32} \int_1^{17} (17 u^{1/2} - u^{3/2}) \, du$$ Integramos término a término: $$\int u^{1/2} du = \frac{2}{3} u^{3/2}$$ $$\int u^{3/2} du = \frac{2}{5} u^{5/2}$$ Por lo tanto: $$I = \frac{1}{32} \left[ 17 \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} - \frac{2}{5} u^{5/2} \right]_1^{17} = \frac{1}{32} \left[ \frac{34}{3} u^{3/2} - \frac{2}{5} u^{5/2} \right]_1^{17}$$ Evaluamos en los límites: $$u=17:\quad \frac{34}{3} (17)^{3/2} - \frac{2}{5} (17)^{5/2}$$ $$u=1:\quad \frac{34}{3} (1)^{3/2} - \frac{2}{5} (1)^{5/2} = \frac{34}{3} - \frac{2}{5}$$ Entonces: $$I = \frac{1}{32} \left[ \left( \frac{34}{3} (17)^{3/2} - \frac{2}{5} (17)^{5/2} \right) - \left( \frac{34}{3} - \frac{2}{5} \right) \right]$$ 5. **Integral angular:** La integral en $$\theta$$ es simple: $$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$$ 6. **Masa total:** $$M = 2\pi \cdot I = \frac{2\pi}{32} \left[ \frac{34}{3} (17)^{3/2} - \frac{2}{5} (17)^{5/2} - \left( \frac{34}{3} - \frac{2}{5} \right) \right] = \frac{\pi}{16} \left[ \frac{34}{3} (17)^{3/2} - \frac{2}{5} (17)^{5/2} - \frac{34}{3} + \frac{2}{5} \right]$$ 7. **Interpretación física:** La integral de superficie $$\iint_S \rho(x,y,z) dS$$ representa la masa total del techo, ya que suma la densidad superficial $$\rho$$ multiplicada por cada elemento infinitesimal de área $$dS$$ sobre la superficie. En este contexto, la integral mide la cantidad total de material (masa) que compone el techo con densidad variable según la altura $$z$$.