Teorema Green 4Fb748

1. **Planteamiento del problema:** Queremos evaluar la integral de línea $$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$ donde $$\mathbf{F}(x,y) = (\sqrt{x} + y^3, x^2 + \sqrt{y})$$ y la curva $$C$$ está compuesta por el arco de $$y = \sin x$$ desde $$(0,0)$$ hasta $$(\pi,0)$$ y el segmento de línea recta desde $$(\pi,0)$$ hasta $$(0,0)$$. 2. **Verificación de la orientación de la curva:** La curva $$C$$ es cerrada y consiste en dos partes: - $$C_1$$: arco de $$y=\sin x$$ de $$(0,0)$$ a $$(\pi,0)$$. - $$C_2$$: segmento de línea recta de $$(\pi,0)$$ a $$(0,0)$$. La orientación dada es de $$(0,0) \to (\pi,0)$$ por el arco y luego de $$(\pi,0) \to (0,0)$$ por la línea, lo que corresponde a una orientación **horaria** (negativa) para el área encerrada. El Teorema de Green requiere que la curva esté orientada **positivamente (antihoraria)**, por lo que debemos invertir la orientación para aplicar el teorema correctamente. 3. **Enunciado del Teorema de Green:** Para un campo vectorial $$\mathbf{F} = (P, Q)$$ y una curva cerrada $$C$$ con orientación positiva, $$ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA $$ Donde $$D$$ es la región encerrada por $$C$$. 4. **Identificación de $$P$$ y $$Q$$:** $$P(x,y) = \sqrt{x} + y^3$$ $$Q(x,y) = x^2 + \sqrt{y}$$ 5. **Cálculo de las derivadas parciales:** $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + \sqrt{y}) = 2x$$ $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\sqrt{x} + y^3) = 3y^2$$ 6. **Diferencia de derivadas:** $$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x - 3y^2$$ 7. **Descripción de la región $$D$$:** La región $$D$$ está limitada por $$y=\sin x$$ y el eje $$x$$ entre $$x=0$$ y $$x=\pi$$. 8. **Integral doble para la región $$D$$:** $$ \iint_D (2x - 3y^2) \, dA = \int_0^{\pi} \int_0^{\sin x} (2x - 3y^2) \, dy \, dx $$ 9. **Evaluación de la integral interna:** $$ \int_0^{\sin x} (2x - 3y^2) \, dy = \left[ 2xy - y^3 \right]_0^{\sin x} = 2x \sin x - (\sin x)^3 $$ 10. **Integral externa:** $$ \int_0^{\pi} \left( 2x \sin x - (\sin x)^3 \right) dx $$ 11. **Separar la integral:** $$ \int_0^{\pi} 2x \sin x \, dx - \int_0^{\pi} (\sin x)^3 \, dx $$ 12. **Calcular $$\int_0^{\pi} 2x \sin x \, dx$$:** Usamos integración por partes: Sea $$u = 2x$$, $$dv = \sin x dx$$ Entonces $$du = 2 dx$$, $$v = -\cos x$$ $$ \int 2x \sin x dx = -2x \cos x + \int 2 \cos x dx = -2x \cos x + 2 \sin x + C $$ Evaluando de 0 a $$\pi$$: $$ [-2x \cos x + 2 \sin x]_0^{\pi} = [-2\pi \cos \pi + 2 \sin \pi] - [0 + 0] = -2\pi (-1) + 0 = 2\pi $$ 13. **Calcular $$\int_0^{\pi} (\sin x)^3 dx$$:** Usamos la identidad $$\sin^3 x = \sin x (1 - \cos^2 x)$$: $$ \int_0^{\pi} \sin^3 x dx = \int_0^{\pi} \sin x dx - \int_0^{\pi} \sin x \cos^2 x dx $$ Primero: $$ \int_0^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 2 $$ Segundo, para $$\int_0^{\pi} \sin x \cos^2 x dx$$, hacemos el cambio de variable $$u = \cos x$$, $$du = -\sin x dx$$: $$ \int_0^{\pi} \sin x \cos^2 x dx = -\int_{u=\cos 0}^{u=\cos \pi} u^2 du = -\int_1^{-1} u^2 du = \int_{-1}^1 u^2 du $$ Evaluamos: $$ \int_{-1}^1 u^2 du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^1 = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} $$ Por lo tanto: $$ \int_0^{\pi} \sin^3 x dx = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $$ 14. **Resultado final de la integral doble:** $$ 2\pi - \frac{4}{3} = \frac{6\pi}{3} - \frac{4}{3} = \frac{6\pi - 4}{3} $$ 15. **Recordar la orientación:** La orientación original era negativa, así que la integral de línea original es el negativo de la integral doble: $$ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = - \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA = - \frac{6\pi - 4}{3} = \frac{4 - 6\pi}{3} $$ **Respuesta final:** $$\boxed{\frac{4 - 6\pi}{3}}$$