Question: User: P2. (Derivación logarítmica en productos y cocientes complejos): Calcule y' mediante derivación logarítmica para:
y = ((x^2 + 1)^3\sqrt{2x + 5})/((3x − 1)^4), x > 1/3.
Graph/shape: A centered mathematical expression showing a rational function with a numerator (x^2 + 1)^3 times \sqrt{2x + 5}, divided by (3x − 1)^4; position_hint=center.Has primero la derivacion normal, y despues la derivacion logaritmica
1. **Planteamiento del problema:**
Calcular la derivada de
$$y = \frac{(x^2 + 1)^3 \sqrt{2x + 5}}{(3x - 1)^4}$$
para $x > \frac{1}{3}$.
2. **Derivación normal:**
Usamos la regla del cociente:
$$y = \frac{u}{v} \quad \Rightarrow \quad y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$
con
$$u = (x^2 + 1)^3 \sqrt{2x + 5} = (x^2 + 1)^3 (2x + 5)^{1/2}$$
y
$$v = (3x - 1)^4$$
3. Derivamos $u$ usando la regla del producto:
$$u = f \cdot g$$
con
$$f = (x^2 + 1)^3, \quad g = (2x + 5)^{1/2}$$
Derivadas:
$$f' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x (x^2 + 1)^2$$
$$g' = \frac{1}{2} (2x + 5)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{(2x + 5)^{1/2}}$$
Entonces:
$$u' = f'g + fg' = 6x (x^2 + 1)^2 (2x + 5)^{1/2} + (x^2 + 1)^3 \cdot \frac{1}{(2x + 5)^{1/2}}$$
4. Derivamos $v$:
$$v' = 4(3x - 1)^3 \cdot 3 = 12 (3x - 1)^3$$
5. Aplicamos la regla del cociente:
$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\left[6x (x^2 + 1)^2 (2x + 5)^{1/2} + (x^2 + 1)^3 \frac{1}{(2x + 5)^{1/2}}\right] (3x - 1)^4 - (x^2 + 1)^3 (2x + 5)^{1/2} \cdot 12 (3x - 1)^3}{(3x - 1)^8}$$
6. Simplificamos cancelando $(3x - 1)^3$ en numerador y denominador:
$$y' = \frac{\left[6x (x^2 + 1)^2 (2x + 5)^{1/2} + (x^2 + 1)^3 \frac{1}{(2x + 5)^{1/2}}\right] \cancel{(3x - 1)^4} - (x^2 + 1)^3 (2x + 5)^{1/2} \cdot 12 \cancel{(3x - 1)^3}}{\cancel{(3x - 1)^8} / (3x - 1)^3} = \frac{\left[6x (x^2 + 1)^2 (2x + 5)^{1/2} + (x^2 + 1)^3 \frac{1}{(2x + 5)^{1/2}}\right] (3x - 1) - 12 (x^2 + 1)^3 (2x + 5)^{1/2}}{(3x - 1)^5}$$
7. **Derivación logarítmica:**
Tomamos logaritmo natural en ambos lados:
$$\ln y = \ln \left[ \frac{(x^2 + 1)^3 (2x + 5)^{1/2}}{(3x - 1)^4} \right] = \ln (x^2 + 1)^3 + \ln (2x + 5)^{1/2} - \ln (3x - 1)^4$$
8. Usamos propiedades de logaritmos:
$$\ln y = 3 \ln (x^2 + 1) + \frac{1}{2} \ln (2x + 5) - 4 \ln (3x - 1)$$
9. Derivamos ambos lados respecto a $x$:
$$\frac{y'}{y} = 3 \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2x + 5} - 4 \cdot \frac{3}{3x - 1}$$
Simplificando:
$$\frac{y'}{y} = \frac{6x}{x^2 + 1} + \frac{1}{2x + 5} - \frac{12}{3x - 1}$$
10. Finalmente despejamos $y'$:
$$y' = y \left( \frac{6x}{x^2 + 1} + \frac{1}{2x + 5} - \frac{12}{3x - 1} \right) = \frac{(x^2 + 1)^3 (2x + 5)^{1/2}}{(3x - 1)^4} \left( \frac{6x}{x^2 + 1} + \frac{1}{2x + 5} - \frac{12}{3x - 1} \right)$$