Question: الوحدة الثالثة: التفاضل والتكامل
تمارين (1-3)
أكمل كلا مما يأتي:
١) المشتقة/المتجهة للدالة $(س^3 - 2س + 5)$ هي: = __
٢) $(4س + \cos(\frac{\pi}{2} - س)) = __$
٣) $(\frac{0}{س} ، \frac{3}{س}) ؟ س = __$
٤) $(3 + 5\tan(س)) = س$
٥) $(س + 2)(7^7 \cos(س + 5)) = __$
٦) $(\frac{\cos س}{1 + \sin س}) = __$
٧) $2 \tan^{-1}(ق س) س = __$
٨) $2 \tan^{-1}(ق^2 س) س = __$
احسب التكاملات الآتية:
٩) $\int 9 س^2 \, د س$
١٠) $\int 12 س^2 \, د س$
١١) $\int 0.5 \sin^2 س \, د س$
١٢) $\int 2 (\cos^2 - 50) \, د ع$
١٣) $\int 3 (\cos^3 س) \, د س$
١٤) $\int (2س + 5) \, د س$
١٥) $\int \frac{3}{س^2} \, د س$
١٦) $\int (س + 3) \, د س$
١٧) $\int (س + 2)^2 \, د س$
١٨) $\int (2س)^2 \, د س$
١٩) $\int (س - 2)(س + 2) \, د س$
٢٠) $\int (س - 5)(س + 1) \, د س$
٢١) $\int (س^2 - 10) \, د س$
٢٢) $\int (1 + \frac{1}{س}) \, د س$
٢٣) $\int \frac{س^2 + 3}{س} \, د س$
٢٤) $\int \frac{س^3 - س^2 + 70}{س^2} \, د س$
٢٥) $\int \frac{س^3 + 6}{س^2} \, د س$
٢٦) $\int \frac{س^3 + 50}{س^2} \, د س$
٢٧) $\int \frac{س^3 + 8}{س^2 + 4} \, د س$
٢٨) $\int \frac{س^3 - 30}{س^2} \, د س$
٢٩) $\int (2س^3 - 30) \, د س$
٣٠) $\int (2س + 3)^3 \, د س$
٣١) $\int (2 - س^2) \, د س$
٣٢) $\int (3 - س^2) \, د س$
٣٣) $\int (6س^2 - 10) \, د س$
٣٤) $\int (س^3 - 10) \, د س$
٣٥) $\int (س^2 - 30) \, د س$
٣٦) $\int (س - 5) \, د س$
٣٧) $\int (س^3 - 20) \, د س$
٣٨) $\int (س^5 - 10) \, د س$
٣٩) $\int (5س^2 + 2) \, د س$
٤٠) $\int \frac{3}{\sqrt{1 - س^2}} \, د س$
٤١) $\int \frac{7 \sin س}{1 + \sin س} \, د س$
٤٢) $\int \frac{1}{3}(س^2 - 30) \, د س$
٤٣) $\int (18 - 5 س^2) \, د س$
٤٤) $\int (0.5 س + 32) \, د س$
٤٥) $\int (1 - \frac{3}{س^2}) \, د س$
٤٦) $\int 2 س^3 \, د س$
٤٧) $\int (4 \sin س - 3 \cos س) \, د س$
٤٨) $\int (\cos س - \sin س) \, د س$
٤٩) $\int (8 - \cos س) \, د س$
٥٠) $\int \frac{1}{\cos س} \, د س$
٥١) $\int (5 \sin س - 2 \cos س) \, د س$
٥٢) $\int (1 + \tan س) \, د س
التماثل في الرسم: يوجد شكل/رسم بياني غير ظاهر بوضوح في أعلى الصفحة، يتمركز في top-right بالنسبة للصفحة، ويبدو مرتبطًا بمحتوى التفاضل والتكامل.
1. **مشكلة:** إيجاد مشتقة الدالة $f(س) = س^3 - 2س + 5$.
2. **الصيغة:** مشتقة دالة كثيرة الحدود تُحسب باستخدام قاعدة القوة: $$\frac{d}{dس} س^n = n س^{n-1}$$
3. **الخطوات:**
- مشتقة $س^3$ هي $3س^2$.
- مشتقة $-2س$ هي $-2$.
- مشتقة الثابت $5$ هي $0$.
4. **النتيجة:**
$$\frac{d}{dس}(س^3 - 2س + 5) = 3س^2 - 2$$
5. **مشكلة:** إيجاد مشتقة الدالة $g(س) = 4س + \cos\left(\frac{\pi}{2} - س\right)$.
6. **الصيغة:** مشتقة $\cos(u)$ هي $-\sin(u) \cdot \frac{du}{dس}$.
7. **الخطوات:**
- مشتقة $4س$ هي $4$.
- مشتقة $\cos\left(\frac{\pi}{2} - س\right)$:
- نعرف $u = \frac{\pi}{2} - س$، إذن $\frac{du}{dس} = -1$.
- إذن مشتقة $\cos(u)$ هي $-\sin(u) \times (-1) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - س\right)$.
8. **النتيجة:**
$$\frac{d}{dس} \left(4س + \cos\left(\frac{\pi}{2} - س\right)\right) = 4 + \sin\left(\frac{\pi}{2} - س\right)$$
9. **مشكلة:** إيجاد مشتقة المتجه $\left(\frac{0}{س}, \frac{3}{س}\right)$.
10. **الخطوات:**
- المكون الأول $\frac{0}{س} = 0$، مشتقته $0$.
- المكون الثاني $\frac{3}{س} = 3س^{-1}$، مشتقته:
$$\frac{d}{dس} 3س^{-1} = 3 \times (-1) س^{-2} = -\frac{3}{س^2}$$
11. **النتيجة:**
$$\left(0, -\frac{3}{س^2}\right)$$
12. **مشكلة:** إيجاد مشتقة $h(س) = 3 + 5\tan(س)$.
13. **الصيغة:** مشتقة $\tan(س)$ هي $\sec^2(س)$.
14. **الخطوات:**
- مشتقة $3$ هي $0$.
- مشتقة $5\tan(س)$ هي $5 \sec^2(س)$.
15. **النتيجة:**
$$\frac{d}{dس} (3 + 5\tan(س)) = 5 \sec^2(س)$$
16. **مشكلة:** إيجاد مشتقة $f(س) = (س + 2) 7^7 \cos(س + 5)$.
17. **الصيغة:** مشتقة حاصل ضرب دالتين $u(س)v(س)$ هي:
$$\frac{d}{dس} (uv) = u'v + uv'$$
18. **الخطوات:**
- $u = س + 2$, $u' = 1$.
- $v = 7^7 \cos(س + 5)$، حيث $7^7$ ثابت.
- مشتقة $v$ هي:
$$7^7 \times (-\sin(س + 5)) = -7^7 \sin(س + 5)$$
19. **التعويض:**
$$\frac{d}{dس} f(س) = 1 \times 7^7 \cos(س + 5) + (س + 2)(-7^7 \sin(س + 5))$$
20. **النتيجة:**
$$7^7 \cos(س + 5) - 7^7 (س + 2) \sin(س + 5)$$
21. **مشكلة:** إيجاد مشتقة $\frac{\cos س}{1 + \sin س}$.
22. **الصيغة:** مشتقة كسر $\frac{f}{g}$ هي:
$$\frac{d}{dس} \left(\frac{f}{g}\right) = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$
23. **الخطوات:**
- $f = \cos س$, $f' = -\sin س$.
- $g = 1 + \sin س$, $g' = \cos س$.
24. **التعويض:**
$$\frac{-\sin س (1 + \sin س) - \cos س (\cos س)}{(1 + \sin س)^2} = \frac{-\sin س - \sin^2 س - \cos^2 س}{(1 + \sin س)^2}$$
25. **تبسيط:**
نستخدم $\sin^2 س + \cos^2 س = 1$:
$$-\sin س - 1$$
26. **النتيجة النهائية:**
$$\frac{-\sin س - 1}{(1 + \sin س)^2} = -\frac{1 + \sin س}{(1 + \sin س)^2} = -\frac{1}{1 + \sin س}$$
27. **مشكلة:** إيجاد مشتقة $2 \tan^{-1}(ق س) س$.
28. **الصيغة:** مشتقة حاصل ضرب:
$$\frac{d}{dس} (2 \tan^{-1}(ق س) س) = 2 \left( \frac{d}{dس} \tan^{-1}(ق س) \times س + \tan^{-1}(ق س) \times \frac{d}{dس} س \right)$$
29. **مشتقة $\tan^{-1}(u)$:**
$$\frac{d}{dس} \tan^{-1}(u) = \frac{1}{1 + u^2} \frac{du}{dس}$$
30. **نحسب:**
- $u = ق س$, $\frac{du}{dس} = ق$.
- إذن:
$$\frac{d}{dس} \tan^{-1}(ق س) = \frac{ق}{1 + (ق س)^2}$$
31. **التعويض:**
$$2 \left( \frac{ق}{1 + ق^2 س^2} \times س + \tan^{-1}(ق س) \times 1 \right) = 2 \left( \frac{ق س}{1 + ق^2 س^2} + \tan^{-1}(ق س) \right)$$
32. **مشكلة:** إيجاد مشتقة $2 \tan^{-1}(ق^2 س) س$.
33. **الخطوات:** مماثلة للسابق مع استبدال $ق$ بـ $ق^2$:
$$\frac{d}{dس} \tan^{-1}(ق^2 س) = \frac{ق^2}{1 + (ق^2 س)^2} = \frac{ق^2}{1 + ق^4 س^2}$$
34. **النتيجة:**
$$2 \left( \frac{ق^2 س}{1 + ق^4 س^2} + \tan^{-1}(ق^2 س) \right)$$
**النتيجة النهائية لجميع الأسئلة الأولى (1-8) هي:**
1) $3س^2 - 2$
2) $4 + \sin\left(\frac{\pi}{2} - س\right)$
3) $(0, -\frac{3}{س^2})$
4) $5 \sec^2(س)$
5) $7^7 \cos(س + 5) - 7^7 (س + 2) \sin(س + 5)$
6) $-\frac{1}{1 + \sin س}$
7) $2 \left( \frac{ق س}{1 + ق^2 س^2} + \tan^{-1}(ق س) \right)$
8) $2 \left( \frac{ق^2 س}{1 + ق^4 س^2} + \tan^{-1}(ق^2 س) \right)$