Question: y = x² এবং x = y² দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
1. সমস্যাটি হলো $y = x^2$ এবং $x = y^2$ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা।
2. প্রথমে সমীকরণগুলো লিখি:
$$y = x^2 \quad \text{(i)}$$
$$x = y^2 \quad \text{(ii)}$$
3. (ii) থেকে $y$ এর মান (i) তে বসিয়ে সমাধান করি:
$$x = (x^2)^2 = x^4$$
$$x - x^4 = 0$$
$$x(1 - x^3) = 0$$
এখানে $x=0$ অথবা $x=1$।
4. সীমা নির্ধারণ হলো $x=0$ থেকে $x=1$ পর্যন্ত।
5. $y$ এর দুটি মান হলো:
$$y_1 = x^2$$
$$y_2 = ext{from } x = y^2 \Rightarrow y = \sqrt{x}$$
6. ক্ষেত্রফল হবে:
$$A = \int_0^1 (y_2 - y_1) \, dx = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) \, dx$$
7. ইন্টিগ্রেশন করি:
$$\int_0^1 \sqrt{x} \, dx = \int_0^1 x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3}$$
$$\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}$$
8. তাই,
$$A = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$
9. সুতরাং, ক্ষেত্রফল $\frac{1}{3}$ বর্গ একক।
**উত্তর সঠিক।**