Calculus Algebra 7094Fd

1. **โจทย์:** กำหนดให้ $f(x) = x^2 + 3x - 4$, $g(x) = 5 - 6x$, และ $h(x) = 7x + 8$ 1.1 หา $\frac{f(2)}{h(-1)}$ 1.2 หา $(f - g)(h)$ 1.3 หา $(h \circ f)(x)$ 2. หา $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 1}{2x^2 - 10}$ 3. หา $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$ โดยไม่ใช้กฎของลอปิตาล 4. พิจารณาความต่อเนื่องของฟังก์ชัน $$f(x) = \begin{cases} \frac{7}{4} - x & x \geq 2 \\ \frac{x - 2}{x^2 - 4} & x < 2 \end{cases}$$ ที่ $x=2$ 5. หาอนุพันธ์ของ $$y = 2x^5 + \frac{7}{x^3} - 4\sqrt{x} + 9$$ 6. หาอนุพันธ์ของ $$y = (4x^2 + 7x + 1)^6$$ 7. หาอนุพันธ์ของ $$y = e^{\sin 2x - x^3}$$ 8. หาอนุพันธ์ของ $$y = \arctan(\cot 3x)$$ 9. หาอนุพันธ์ของ $$y = \tanh^{-1}(\sinh 2x)$$ --- ### 1.1 $\frac{f(2)}{h(-1)}$ 1. แทนค่าในฟังก์ชัน $$f(2) = 2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6$$ $$h(-1) = 7(-1) + 8 = -7 + 8 = 1$$ 2. คำนวณเศษส่วน $$\frac{f(2)}{h(-1)} = \frac{6}{1} = 6$$ --- ### 1.2 $(f - g)(h)$ 1. นิยาม $(f - g)(x) = f(x) - g(x)$ 2. แทน $x$ ด้วย $h(x)$ $$ (f - g)(h(x)) = f(h(x)) - g(h(x)) $$ 3. คำนวณ $f(h(x))$ $$f(h(x)) = (h(x))^2 + 3h(x) - 4 = (7x + 8)^2 + 3(7x + 8) - 4$$ $$= (49x^2 + 112x + 64) + 21x + 24 - 4 = 49x^2 + 133x + 84$$ 4. คำนวณ $g(h(x))$ $$g(h(x)) = 5 - 6(h(x)) = 5 - 6(7x + 8) = 5 - 42x - 48 = -42x - 43$$ 5. ลบกัน $$(f - g)(h(x)) = (49x^2 + 133x + 84) - (-42x - 43) = 49x^2 + 133x + 84 + 42x + 43 = 49x^2 + 175x + 127$$ --- ### 1.3 $(h \circ f)(x)$ 1. นิยาม $$(h \circ f)(x) = h(f(x))$$ 2. แทน $f(x)$ ลงใน $h$ $$h(f(x)) = 7f(x) + 8 = 7(x^2 + 3x - 4) + 8$$ 3. ขยาย $$= 7x^2 + 21x - 28 + 8 = 7x^2 + 21x - 20$$ --- ### 2. $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 1}{2x^2 - 10}$ 1. แทนค่า $x=2$ $$\frac{2^2 - 6(2) + 1}{2(2)^2 - 10} = \frac{4 - 12 + 1}{8 - 10} = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2}$$ --- ### 3. $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$ (ไม่ใช้ลอปิตาล) 1. แยกตัวประกอบ $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ $$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$$ 2. ตัด $(x - 1)$ ออก $$\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{\cancel{(x - 1)}(x + 1)}{\cancel{(x - 1)}(x + 2)} = \frac{x + 1}{x + 2}$$ 3. แทน $x=1$ $$\frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}$$ --- ### 4. ความต่อเนื่องที่ $x=2$ 1. คำนวณ $f(2)$ $$f(2) = \frac{7}{4} - 2 = \frac{7}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{1}{4}$$ 2. หา $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ $$\lim_{x \to 2^-} \frac{x - 2}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)}$$ 3. ตัด $(x - 2)$ $$= \lim_{x \to 2^-} \frac{\cancel{x - 2}}{\cancel{x - 2}(x + 2)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{4}$$ 4. หา $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ $$\lim_{x \to 2^+} \left( \frac{7}{4} - x \right) = \frac{7}{4} - 2 = -\frac{1}{4}$$ 5. สรุป $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{1}{4} \neq f(2) = -\frac{1}{4} = \lim_{x \to 2^+} f(x)$$ ดังนั้น $f$ ไม่ต่อเนื่องที่ $x=2$ --- ### 5. หา $\frac{dy}{dx}$ สำหรับ $$y = 2x^5 + \frac{7}{x^3} - 4\sqrt{x} + 9$$ 1. เขียนใหม่ $$y = 2x^5 + 7x^{-3} - 4x^{1/2} + 9$$ 2. หาอนุพันธ์ทีละเทอม $$\frac{dy}{dx} = 10x^4 - 21x^{-4} - 2x^{-1/2} + 0$$ --- ### 6. หา $\frac{dy}{dx}$ สำหรับ $$y = (4x^2 + 7x + 1)^6$$ 1. ใช้กฎลูกโซ่ $$\frac{dy}{dx} = 6(4x^2 + 7x + 1)^5 \cdot \frac{d}{dx}(4x^2 + 7x + 1)$$ 2. หาอนุพันธ์ข้างใน $$\frac{d}{dx}(4x^2 + 7x + 1) = 8x + 7$$ 3. รวม $$\frac{dy}{dx} = 6(4x^2 + 7x + 1)^5 (8x + 7)$$ --- ### 7. หา $\frac{dy}{dx}$ สำหรับ $$y = e^{\sin 2x - x^3}$$ 1. ใช้กฎลูกโซ่ $$\frac{dy}{dx} = e^{\sin 2x - x^3} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 2x - x^3)$$ 2. หาอนุพันธ์ข้างใน $$\frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2\cos 2x$$ $$\frac{d}{dx}(-x^3) = -3x^2$$ 3. รวม $$\frac{dy}{dx} = e^{\sin 2x - x^3} (2\cos 2x - 3x^2)$$ --- ### 8. หา $\frac{dy}{dx}$ สำหรับ $$y = \arctan(\cot 3x)$$ 1. ใช้กฎลูกโซ่ $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\cot 3x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(\cot 3x)$$ 2. หาอนุพันธ์ของ $\cot 3x$ $$\frac{d}{dx}(\cot 3x) = -3\csc^2 3x$$ 3. รวม $$\frac{dy}{dx} = \frac{-3\csc^2 3x}{1 + \cot^2 3x}$$ 4. ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$ 5. ดังนั้น $$\frac{dy}{dx} = \frac{-3\csc^2 3x}{\csc^2 3x} = -3$$ --- ### 9. หา $\frac{dy}{dx}$ สำหรับ $$y = \tanh^{-1}(\sinh 2x)$$ 1. ใช้กฎลูกโซ่ $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - (\sinh 2x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sinh 2x)$$ 2. หาอนุพันธ์ของ $\sinh 2x$ $$\frac{d}{dx}(\sinh 2x) = 2\cosh 2x$$ 3. ใช้เอกลักษณ์ $$\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1 \Rightarrow 1 - \sinh^2 t = \cosh^2 t$$ 4. ดังนั้น $$\frac{dy}{dx} = \frac{2\cosh 2x}{\cosh^2 2x} = \frac{2}{\cosh 2x}$$