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1. Le problème consiste à trouver la dérivée de la fonction $$f(x) = \frac{x+1}{x^2}$$.
2. La formule utilisée est la règle du quotient pour la dérivation :
$$f'(x) = \frac{(u)'v - u(v)'}{v^2}$$ où $$u = x+1$$ et $$v = x^2$$.
3. Calculons les dérivées de $$u$$ et $$v$$ :
$$u' = 1$$ et $$v' = 2x$$.
4. Appliquons la règle du quotient :
$$f'(x) = \frac{1 \cdot x^2 - (x+1) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x^2 - 2x(x+1)}{x^4}$$.
5. Simplifions le numérateur :
$$x^2 - 2x(x+1) = x^2 - 2x^2 - 2x = -x^2 - 2x$$.
6. On peut écrire :
$$f'(x) = \frac{-x^2 - 2x}{x^4} = \frac{x(-x - 2)}{x^4}$$.
7. Simplifions en annulant un facteur $$x$$ au numérateur et au dénominateur :
$$f'(x) = \frac{\cancel{x}(-x - 2)}{\cancel{x} x^3} = \frac{-x - 2}{x^3}$$.
8. La dérivée finale est donc :
$$f'(x) = \frac{-x - 2}{x^3}$$.
Cette démarche montre comment appliquer la règle du quotient et simplifier correctement l'expression pour obtenir la dérivée.