Diff Eq Analysis 844D72

1. **อันดับและดีกรีของสมการเชิงอนุพันธ์** - อันดับของสมการเชิงอนุพันธ์คืออันดับของอนุพันธ์ที่สูงที่สุดในสมการ - ดีกรีคือกำลังสูงสุดของอนุพันธ์อันดับสูงสุดในสมการ - ความเป็นเชิงเส้น: สมการเชิงอนุพันธ์เป็นเชิงเส้นถ้าตัวแปรและอนุพันธ์ปรากฏในรูปเชิงเส้น (ไม่มีกำลังหรือฟังก์ชันที่ไม่ใช่เชิงเส้น) - ความเป็นเอกพันธ์: สมการเป็นเอกพันธ์ถ้าทุกพจน์มีอันดับและดีกรีเท่ากัน 1. $\frac{d^3y}{dx^3} + \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 = x^3$ - อันดับ: 3 (สูงสุดคือ $\frac{d^3y}{dx^3}$) - ดีกรี: 3 (เพราะ $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$ มีดีกรี 3) - ความเป็นเชิงเส้น: ไม่เชิงเส้น (มีอนุพันธ์ยกกำลัง 3) - ความเป็นเอกพันธ์: ไม่เป็นเอกพันธ์ (พจน์ต่างดีกรีและอันดับ) 2. $\frac{d^4y}{dx^4} - e^x \frac{d^2y}{dx^2} = -3y$ - อันดับ: 4 - ดีกรี: 1 (อนุพันธ์อันดับสูงสุดยกกำลัง 1) - ความเป็นเชิงเส้น: เชิงเส้น (ไม่มีอนุพันธ์ยกกำลังหรือฟังก์ชันที่ไม่เชิงเส้นของอนุพันธ์) - ความเป็นเอกพันธ์: ไม่เป็นเอกพันธ์ (พจน์ $e^x \frac{d^2y}{dx^2}$ มีฟังก์ชัน $e^x$) 3. $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + x \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{d^3x}{dt^3} - 2x^2 = 2t$ - อันดับ: 3 - ดีกรี: 1 (อนุพันธ์อันดับสูงสุดยกกำลัง 1) - ความเป็นเชิงเส้น: ไม่เชิงเส้น (มี $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2$ และ $x^2$) - ความเป็นเอกพันธ์: ไม่เป็นเอกพันธ์ 4. $e^y \frac{d^2y}{dx^2} - x^2 \frac{d^3y}{dx^3} + \frac{1}{2} \frac{dy}{dx} = 0$ - อันดับ: 3 - ดีกรี: 1 - ความเป็นเชิงเส้น: เชิงเส้น (อนุพันธ์ปรากฏในรูปเชิงเส้น) - ความเป็นเอกพันธ์: ไม่เป็นเอกพันธ์ (มี $e^y$ และ $x^2$) 5. $2y''' - y'' + 2xy' = 3y$ - อันดับ: 3 - ดีกรี: 1 - ความเป็นเชิงเส้น: เชิงเส้น - ความเป็นเอกพันธ์: ไม่เป็นเอกพันธ์ 2. **หาผลเฉลยทั่วไปของสมการ** สมการ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{4y^2 - 3y + 1}$ 1. แยกตัวแปร: $$ (4y^2 - 3y + 1) dy = x dx $$ 2. อินทิเกรตทั้งสองข้าง: $$ \int (4y^2 - 3y + 1) dy = \int x dx $$ 3. คำนวณอินทิเกรต: $$ \int (4y^2 - 3y + 1) dy = \frac{4y^3}{3} - \frac{3y^2}{2} + y + C_1 $$ $$ \int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2 $$ 4. รวมค่าคงที่ $C = C_2 - C_1$: $$ \frac{4y^3}{3} - \frac{3y^2}{2} + y = \frac{x^2}{2} + C $$ 5. นี่คือผลเฉลยทั่วไปในรูปสมการไม่เป็นฟังก์ชัน $y=f(x)$ แบบปิด 3. **หาผลเฉลยทั่วไปโดยใช้วิธีสมการเอกพันธ์** สมการ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 + xy}{xy}$ 1. เขียนใหม่: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy} + \frac{xy}{xy} = \frac{y}{x} + 1 $$ 2. แทน $v = \frac{y}{x}$ ดังนั้น $y = vx$ และ $$ \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} $$ 3. แทนในสมการ: $$ v + x \frac{dv}{dx} = v + 1 $$ 4. ตัด $v$ ออกจากทั้งสองข้าง: $$ x \frac{dv}{dx} = 1 $$ 5. แยกตัวแปรและอินทิเกรต: $$ \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x} \Rightarrow dv = \frac{1}{x} dx $$ $$ \int dv = \int \frac{1}{x} dx $$ $$ v = \ln|x| + C $$ 6. แทนกลับ $v = \frac{y}{x}$: $$ \frac{y}{x} = \ln|x| + C $$ 7. ผลเฉลยทั่วไป: $$ y = x(\ln|x| + C) $$ 4. **พิสูจน์ว่าสมการเชิงอนุพันธ์เป็นสมการแน่นตรงหรือไม่** สมการแน่นตรงมีเงื่อนไขว่า $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $$ โดยสมการอยู่ในรูป: $$ M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 $$ 1. สมการที่ 1: $$ M = 1 + e^{xy} + x e^{xy} $$ $$ N = x e^x + 2 $$ คำนวณ $$ \frac{\partial M}{\partial y} = e^{xy} (x) + x e^{xy} (x) = x e^{xy} + x^2 e^{xy} $$ $$ \frac{\partial N}{\partial x} = e^x + x e^x = e^x (1 + x) $$ เนื่องจาก $$ x e^{xy} + x^2 e^{xy} \neq e^x (1 + x) $$ สมการนี้ **ไม่เป็นสมการแน่นตรง** 2. สมการที่ 2: $$ M = \sin y - y \sin x $$ $$ N = \cos x + x \cos y - y $$ คำนวณ $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \cos y - \sin x $$ $$ \frac{\partial N}{\partial x} = -\sin x + \cos y $$ เนื่องจาก $$ \cos y - \sin x = -\sin x + \cos y $$ ดังนั้น $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $$ สมการนี้ **เป็นสมการแน่นตรง** **สรุป:** - คำตอบข้อ 1: ระบุอันดับ ดีกรี ความเป็นเชิงเส้น และความเป็นเอกพันธ์ของสมการทั้ง 5 - คำตอบข้อ 2: ผลเฉลยทั่วไปของสมการแยกตัวแปร - คำตอบข้อ 3: ผลเฉลยทั่วไปโดยใช้วิธีสมการเอกพันธ์ - คำตอบข้อ 4: สมการที่ 1 ไม่เป็นสมการแน่นตรง สมการที่ 2 เป็นสมการแน่นตรง