Question: Los op
1. **Stel het probleem vast:** Bereken de dubbele integraal $$\int_0^1 \left( \int_{-y}^y e^{x+y} \, dx \right) dy$$.
2. **Formule en belangrijke regels:** De binnenste integraal is over $$x$$ met $$y$$ constant, de buitenste integraal is over $$y$$.
3. **Los de binnenste integraal op:**
$$\int_{-y}^y e^{x+y} \, dx = e^y \int_{-y}^y e^x \, dx$$
4. Bereken de integraal van $$e^x$$:
$$\int_{-y}^y e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{-y}^y = e^y - e^{-y}$$
5. Dus:
$$\int_{-y}^y e^{x+y} \, dx = e^y (e^y - e^{-y}) = e^{2y} - e^0 = e^{2y} - 1$$
6. Nu de buitenste integraal:
$$\int_0^1 (e^{2y} - 1) \, dy = \int_0^1 e^{2y} \, dy - \int_0^1 1 \, dy$$
7. Bereken elke integraal:
$$\int_0^1 e^{2y} \, dy = \left[ \frac{e^{2y}}{2} \right]_0^1 = \frac{e^2 - 1}{2}$$
$$\int_0^1 1 \, dy = [y]_0^1 = 1$$
8. Trek af:
$$\frac{e^2 - 1}{2} - 1 = \frac{e^2 - 1 - 2}{2} = \frac{e^2 - 3}{2}$$
**Eindantwoord:**
$$\int_0^1 \left( \int_{-y}^y e^{x+y} \, dx \right) dy = \frac{e^2 - 3}{2}$$