Question: 1. กำหนดให้ f(x) = x^2 + 3x - 4, g(x) = 5 - 6x และ h(x) = 7x + 8 จงหา
1.1. f(2) / h(-1) (3 คะแนน)
1.2. (f - g)(h) (3 คะแนน)
1.3. (h o f)(x) (4 คะแนน)
2. จงหาค่า lim x→2 (x^2 - 6x + 1) / (2x^2 - 10) (4 คะแนน)
3. จงหาค่า lim x→1 (x^2 - 1) / (x^2 + x - 2) โดยไม่ใช้กฎของโลปิตาล (4 คะแนน)
4. กำหนดให้ f(x) = { (7/4 - x) ถ้า x ≥ 2
{ (x - 2) / (x^2 - 4) ถ้า x < 2
จงพิจารณา f ต่อเนื่องที่จุด x = 2 หรือไม่ (4 คะแนน)
5. กำหนดให้ y = 2x^5 + 7/x^3 - 4√x + 9 จงหา dy/dx (4 คะแนน)
6. กำหนดให้ y = (4x^2 + 7x + 1)^6 จงหา dy/dx (6 คะแนน)
7. กำหนดให้ y = e^(sin2x - x^3) จงหา dy/dx (6 คะแนน)
8. กำหนดให้ y = arctan(cot3x) จงหา dy/dx (6 คะแนน)
9. กำหนดให้ y = tanh^-1(sinh2x) จงหา dy/dx (6 คะแนน)
1. **โจทย์:**
กำหนดให้ $f(x) = x^2 + 3x - 4$, $g(x) = 5 - 6x$ และ $h(x) = 7x + 8$ จงหา
1.1. $\frac{f(2)}{h(-1)}$
1.2. $(f - g)(h)$
1.3. $(h \circ f)(x)$
2. **โจทย์:**
หาค่า $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 1}{2x^2 - 10}$
3. **โจทย์:**
หาค่า $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$ โดยไม่ใช้กฎของโลปิตาล
4. **โจทย์:**
กำหนดฟังก์ชัน
$$f(x) = \begin{cases} \frac{7}{4} - x & \text{ถ้า } x \geq 2 \\ \frac{x - 2}{x^2 - 4} & \text{ถ้า } x < 2 \end{cases}$$
จงพิจารณาว่า $f$ ต่อเนื่องที่ $x=2$ หรือไม่
5. **โจทย์:**
$y = 2x^5 + \frac{7}{x^3} - 4\sqrt{x} + 9$ จงหา $\frac{dy}{dx}$
6. **โจทย์:**
$y = (4x^2 + 7x + 1)^6$ จงหา $\frac{dy}{dx}$
7. **โจทย์:**
$y = e^{\sin 2x - x^3}$ จงหา $\frac{dy}{dx}$
8. **โจทย์:**
$y = \arctan(\cot 3x)$ จงหา $\frac{dy}{dx}$
9. **โจทย์:**
$y = \tanh^{-1}(\sinh 2x)$ จงหา $\frac{dy}{dx}$
---
### คำตอบและวิธีทำ
1.1.
1. คำนวณ $f(2)$:
$$f(2) = 2^2 + 3 \times 2 - 4 = 4 + 6 - 4 = 6$$
2. คำนวณ $h(-1)$:
$$h(-1) = 7 \times (-1) + 8 = -7 + 8 = 1$$
3. ดังนั้น
$$\frac{f(2)}{h(-1)} = \frac{6}{1} = 6$$
1.2.
1. นิยาม $(f - g)(x) = f(x) - g(x)$
2. แทน $x$ ด้วย $h(x)$:
$$(f - g)(h) = f(h(x)) - g(h(x))$$
3. คำนวณ $f(h(x))$:
$$f(h(x)) = (h(x))^2 + 3h(x) - 4 = (7x + 8)^2 + 3(7x + 8) - 4$$
$$= (49x^2 + 112x + 64) + 21x + 24 - 4 = 49x^2 + 133x + 84$$
4. คำนวณ $g(h(x))$:
$$g(h(x)) = 5 - 6h(x) = 5 - 6(7x + 8) = 5 - 42x - 48 = -42x - 43$$
5. ดังนั้น
$$(f - g)(h) = (49x^2 + 133x + 84) - (-42x - 43) = 49x^2 + 133x + 84 + 42x + 43 = 49x^2 + 175x + 127$$
1.3.
1. นิยาม $(h \circ f)(x) = h(f(x))$
2. คำนวณ $f(x)$:
$$f(x) = x^2 + 3x - 4$$
3. แทน $f(x)$ ลงใน $h$:
$$h(f(x)) = 7f(x) + 8 = 7(x^2 + 3x - 4) + 8 = 7x^2 + 21x - 28 + 8 = 7x^2 + 21x - 20$$
2.
1. แทนค่า $x=2$ ในฟังก์ชัน:
$$\frac{2^2 - 6 \times 2 + 1}{2 \times 2^2 - 10} = \frac{4 - 12 + 1}{8 - 10} = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2}$$
2. ดังนั้น
$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 1}{2x^2 - 10} = \frac{7}{2}$$
3.
1. แยกตัวประกอบ:
$$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$
$$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$$
2. แทนในลิมิต:
$$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 2)}$$
3. ตัดตัวร่วม:
$$\lim_{x \to 1} \frac{\cancel{(x - 1)}(x + 1)}{\cancel{(x - 1)}(x + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x + 2}$$
4. แทนค่า $x=1$:
$$\frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}$$
4.
1. ตรวจสอบค่าฟังก์ชันที่ $x=2$:
$$f(2) = \frac{7}{4} - 2 = \frac{7}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{1}{4}$$
2. หาค่าลิมิตซ้ายที่ $x \to 2^-$:
$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{x - 2}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)}$$
3. ตัดตัวร่วม:
$$\lim_{x \to 2^-} \frac{\cancel{x - 2}}{\cancel{x - 2}(x + 2)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{4}$$
4. หาค่าลิมิตขวาที่ $x \to 2^+$:
$$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left( \frac{7}{4} - x \right) = \frac{7}{4} - 2 = -\frac{1}{4}$$
5. สรุป:
$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{1}{4} \neq f(2) = -\frac{1}{4} = \lim_{x \to 2^+} f(x)$$
ดังนั้น $f$ ไม่ต่อเนื่องที่ $x=2$ เพราะลิมิตซ้ายไม่เท่ากับค่าฟังก์ชัน
5.
1. เขียน $y$ ใหม่:
$$y = 2x^5 + 7x^{-3} - 4x^{1/2} + 9$$
2. หาอนุพันธ์ทีละพจน์:
$$\frac{dy}{dx} = 2 \times 5x^{4} + 7 \times (-3)x^{-4} - 4 \times \frac{1}{2} x^{-1/2} + 0$$
3. คำนวณ:
$$\frac{dy}{dx} = 10x^{4} - 21x^{-4} - 2x^{-1/2}$$
6.
1. ใช้กฎลูกโซ่:
$$y = (u)^6, \quad u = 4x^2 + 7x + 1$$
2. หา $\frac{dy}{du}$ และ $\frac{du}{dx}$:
$$\frac{dy}{du} = 6u^{5}$$
$$\frac{du}{dx} = 8x + 7$$
3. ดังนั้น
$$\frac{dy}{dx} = 6(4x^2 + 7x + 1)^5 (8x + 7)$$
7.
1. ใช้กฎลูกโซ่:
$$y = e^{v}, \quad v = \sin 2x - x^3$$
2. หา $\frac{dy}{dv}$ และ $\frac{dv}{dx}$:
$$\frac{dy}{dv} = e^{v}$$
$$\frac{dv}{dx} = 2 \cos 2x - 3x^2$$
3. ดังนั้น
$$\frac{dy}{dx} = e^{\sin 2x - x^3} (2 \cos 2x - 3x^2)$$
8.
1. ใช้กฎลูกโซ่และอนุพันธ์ของ $\arctan u$:
$$\frac{d}{dx} \arctan u = \frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$$
2. ให้ $u = \cot 3x = \frac{\cos 3x}{\sin 3x}$
3. หา $\frac{du}{dx}$:
$$\frac{d}{dx} \cot 3x = -3 \csc^2 3x$$
4. ดังนั้น
$$\frac{dy}{dx} = \frac{-3 \csc^2 3x}{1 + \cot^2 3x}$$
5. ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ:
$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$
6. แทนกลับ:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{-3 \csc^2 3x}{\csc^2 3x} = -3$$
9.
1. ใช้กฎลูกโซ่และอนุพันธ์ของ $\tanh^{-1} u$:
$$\frac{d}{dx} \tanh^{-1} u = \frac{1}{1 - u^2} \frac{du}{dx}$$
2. ให้ $u = \sinh 2x$
3. หา $\frac{du}{dx}$:
$$\frac{d}{dx} \sinh 2x = 2 \cosh 2x$$
4. ดังนั้น
$$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cosh 2x}{1 - \sinh^2 2x}$$
5. ใช้เอกลักษณ์ไฮเพอร์โบลิก:
$$\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1 \Rightarrow 1 - \sinh^2 t = \cosh^2 t$$
6. แทนกลับ:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cosh 2x}{\cosh^2 2x} = \frac{2}{\cosh 2x}$$
---
**สรุปคำตอบ:**
1.1. $6$
1.2. $49x^2 + 175x + 127$
1.3. $7x^2 + 21x - 20$
2. $\frac{7}{2}$
3. $\frac{2}{3}$
4. $f$ ไม่ต่อเนื่องที่ $x=2$
5. $\frac{dy}{dx} = 10x^{4} - 21x^{-4} - 2x^{-1/2}$
6. $\frac{dy}{dx} = 6(4x^2 + 7x + 1)^5 (8x + 7)$
7. $\frac{dy}{dx} = e^{\sin 2x - x^3} (2 \cos 2x - 3x^2)$
8. $\frac{dy}{dx} = -3$
9. $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\cosh 2x}$