Gaussian Integral 5A36A0

1. El problema es evaluar la integral $$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx$$. 2. Esta integral es conocida como la integral de Gauss y su resultado es $$\sqrt{\pi}$$. 3. Para entender por qué, consideramos la integral $$I = \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx$$. 4. Elevamos al cuadrado la integral para facilitar el cálculo: $$I^2 = \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy\right) = \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy$$. 5. Cambiamos a coordenadas polares donde $$x^{2}+y^{2} = r^{2}$$ y el elemento de área es $$dxdy = r dr d\theta$$. 6. Entonces, $$I^2 = \int _{0}^{2\pi} \int _{0}^{\infty} e^{-r^{2}} r dr d\theta$$. 7. Integramos primero respecto a $$r$$: $$\int _{0}^{\infty} e^{-r^{2}} r dr = \frac{1}{2}$$ (usando el cambio de variable $$u = r^{2}$$). 8. Luego, la integral angular es $$\int _{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$$. 9. Por lo tanto, $$I^2 = 2\pi \times \frac{1}{2} = \pi$$. 10. Finalmente, $$I = \sqrt{\pi}$$. Respuesta final: $$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx = \sqrt{\pi}$$.