Question: Hoe bereken je een gradient in $\mathbb{R}^2$?
1. **Probleemstelling:** We willen de gradient van een functie $f(x,y)$ in $\mathbb{R}^2$ berekenen.
2. **Definitie van de gradient:** De gradient van een functie $f(x,y)$ is een vector die bestaat uit de partiële afgeleiden van $f$ naar $x$ en $y$:
$$\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$$
3. **Belangrijke regels:**
- De partiële afgeleide $\frac{\partial f}{\partial x}$ meet de verandering van $f$ als alleen $x$ verandert en $y$ constant blijft.
- De partiële afgeleide $\frac{\partial f}{\partial y}$ meet de verandering van $f$ als alleen $y$ verandert en $x$ constant blijft.
4. **Voorbeeld:** Stel $f(x,y) = x^2 y + 3y^2$.
Bereken eerst $\frac{\partial f}{\partial x}$:
$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + 3y^2) = 2x y + 0 = 2xy$$
Bereken daarna $\frac{\partial f}{\partial y}$:
$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2 y + 3y^2) = x^2 + 6y$$
5. **Conclusie:** De gradient is dus:
$$\nabla f(x,y) = (2xy, x^2 + 6y)$$
Deze vector geeft de richting en snelheid van de snelste stijging van de functie $f$ in het vlak $\mathbb{R}^2$.