Impliciete Afgeleiden 9A7E96

1. **Probleemstelling:** We willen de eerste en tweede afgeleide van $f$ bij $x=1$ vinden, gegeven de impliciete functie $F(x,y) = xy^3 - 2xy^2 + 3x^2y + 6x^3 - 6$ en de voorwaarde $f(1)=0$. 2. **Formule en regels:** Voor impliciete functies geldt dat $F(x,f(x))=0$. De eerste afgeleide wordt gegeven door: $$f'(x) = - \frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y} = - \frac{D_1F(x,f(x))}{D_2F(x,f(x))}$$ De tweede afgeleide wordt gegeven door: $$f''(x) = - \frac{\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} + 2 \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} f'(x) + \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} (f'(x))^2}{\partial F/\partial y}$$ 3. **Bereken partiële afgeleiden:** - Eerste orde: $$D_1F = \frac{\partial F}{\partial x} = y^3 - 2y^2 + 6xy + 18x^2$$ $$D_2F = \frac{\partial F}{\partial y} = 3xy^2 - 4xy + 3x^2$$ - Tweede orde: $$\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} D_1F = -2y^2 + 6y + 36x$$ $$\frac{\partial^2 F}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} D_2F = 6xy - 4x$$ $$\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} D_1F = 3y^2 - 4y + 6x$$ 4. **Waarden invullen bij $(1,0)$:** - $D_1F(1,0) = 0^3 - 2 \cdot 1 \cdot 0^2 + 6 \cdot 1 \cdot 0 + 18 \cdot 1^2 = 18$ - $D_2F(1,0) = 3 \cdot 1 \cdot 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1^2 = 3$ - $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(1,0) = -2 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 + 36 \cdot 1 = 36$ - $\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(1,0) = 6 \cdot 1 \cdot 0 - 4 \cdot 1 = -4$ - $\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}(1,0) = 3 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 6 \cdot 1 = 6$ 5. **Bereken $f'(1)$:** $$f'(1) = - \frac{D_1F(1,0)}{D_2F(1,0)} = - \frac{18}{3} = -6$$ 6. **Bereken $f''(1)$:** Gebruik de formule: $$f''(1) = - \frac{\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(1,0) + 2 \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}(1,0) f'(1) + \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(1,0) (f'(1))^2}{D_2F(1,0)}$$ Invullen: $$= - \frac{36 + 2 \cdot 6 \cdot (-6) + (-4) \cdot (-6)^2}{3}$$ $$= - \frac{36 - 72 - 144}{3} = - \frac{-180}{3} = 60$$ 7. **Conclusie:** - $f'(1) = -6$ - $f''(1) = 60$ Dit is de correcte berekening van de eerste en tweede afgeleide van $f$ bij $x=1$ volgens de impliciete differentiatietechniek.