Lagrange Extrema 8557E1

1. **Stel het probleem vast:** We willen de extrema (maxima of minima) van een functie $f(x_1,...,x_m)$ vinden onder de voorwaarde dat $g(x_1,...,x_m)=0$. 2. **Belangrijk concept:** In een gebonden lokaal extremum $x^*$ raakt de kromme met vergelijking $g(x_1,x_2)=0$ aan de niveaulijn van $f$ door $x^*$. 3. **Gevolg:** De gradiënten van $f$ en $g$ zijn evenwijdig in $x^*$, oftewel: $$\nabla f(x^*) \parallel \nabla g(x^*)$$ 4. **Formule van Lagrange:** Er bestaat een scalaire $lambda^* \in \mathbb{R}$ zodat: $$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x_1}(x^*) - \lambda^* \frac{\partial g}{\partial x_1}(x^*) = 0 \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_m}(x^*) - \lambda^* \frac{\partial g}{\partial x_m}(x^*) = 0 \\ g(x^*) = 0 \end{cases}$$ 5. **Lagrange functie:** Definieer $$L(x_1,...,x_m,\lambda) = f(x_1,...,x_m) - \lambda g(x_1,...,x_m)$$ De kritieke punten $(x_1^*,...,x_m^*,\lambda^*)$ van $L$ voldoen aan bovenstaande vergelijkingen. 6. **Interpretatie:** Gebonden extrema zijn minima of maxima van $f$ binnen het domein bepaald door $g(x_1,...,x_m)=0$. 7. **Voorbeeld:** Voor $f(x) = x^2$ over het interval $[0,2]$ is $(0,0)$ het absoluut minimum en $(2,4)$ een lokaal gebonden maximum. **Conclusie:** Om extrema van $f$ onder de randvoorwaarde $g=0$ te vinden, los je het stelsel op van de Lagrange-vergelijkingen en de randvoorwaarde.