Question: 6. (i) lim x→0 (1−cos2x)/x [কু. বে. ১৭]
(ii) lim x→0 (1−cosx)/x²
(iii) lim x→0 (1−cosx)/x [RUET: 07-08; মা. বে. ১২; ব. বে. ২১]
(iv) lim x→0 (1−cos7x)/3x² [KUET: 07-08; জা. বে. ১০; র. বে. ২১, ১২; সি. বে. ১২; ০৮; কু. বে. ১১, ০৮; চ. বে. ২৩, ১৯, ০৬; দি. বে. ১১; রা. বে. ১০, ০৭, ০৫; ব. বে. ০৮]
(v) lim x→0 (1−2cosx+cos2x)/x² [কু. বে. ২২, ১৪; চ. বে. ০৫]
(vi) lim x→0 (1−cosx)/(1−cosbx) [চ. বে. ০১] (vii) lim x→0 (1−cosx)/sin²2x (viii) lim x→0 (2sinx−sin2x)/x³ [দি. বে. ১১]
(ix) lim x→0 (cosecx − cotx) [RUET. 04-05; ব. বে. ১৭, ১০; চ. বে. ০৯]
(x) lim x→0 1/x (1/sinx − 1/tanx) [সি. বে. ১৪; মা. বে. ১৩; চ. বে. ০১]
1. **Problem statement:** Find the limit $$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 2x}{x}$$.
2. **Formula and rules:** Recall the Taylor expansion for cosine near zero: $$\cos y = 1 - \frac{y^2}{2} + O(y^4)$$.
3. **Apply the expansion:** Substitute $y=2x$:
$$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2} + O(x^4) = 1 - \frac{4x^2}{2} + O(x^4) = 1 - 2x^2 + O(x^4)$$
4. **Calculate numerator:**
$$1 - \cos 2x = 1 - \left(1 - 2x^2 + O(x^4)\right) = 2x^2 + O(x^4)$$
5. **Form the limit expression:**
$$\frac{1 - \cos 2x}{x} = \frac{2x^2 + O(x^4)}{x} = 2x + O(x^3)$$
6. **Evaluate the limit:** As $x \to 0$, $2x + O(x^3) \to 0$.
**Final answer:**
$$\boxed{0}$$