Lokale Extrema 1A3107

1. **Stel het probleem vast:** We onderzoeken de lokale maxima en minima van de functie $$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} : (x,y) \mapsto 2x^3 + 9xy^2 + 15x^2 + 27y^2$$. 2. **Zoek de kritieke punten:** Dit zijn punten waar de partiële afgeleiden nul zijn. Bereken de partiële afgeleiden: $$\frac{\partial f}{\partial x} = 6x^2 + 9y^2 + 30x$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = 18xy + 54y$$ Stel deze gelijk aan nul: $$6x^2 + 9y^2 + 30x = 0$$ $$18xy + 54y = 0$$ 3. **Los het stelsel op:** Uit de tweede vergelijking: $$18y(x + 3) = 0 \implies y=0 \quad \text{of} \quad x = -3$$ - Voor $y=0$ in de eerste vergelijking: $$6x^2 + 30x = 0 \implies 6x(x + 5) = 0 \implies x=0 \text{ of } x=-5$$ - Voor $x=-3$ in de eerste vergelijking: $$6(-3)^2 + 9y^2 + 30(-3) = 54 + 9y^2 - 90 = 9y^2 - 36 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y=\pm 2$$ Dus de kritieke punten zijn: $$(0,0), (-5,0), (-3,2), (-3,-2)$$ 4. **Bepaal de Hessiaan matrix:** De tweede orde partiële afgeleiden zijn: $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x + 30$$ $$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 18x + 54$$ $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 18y$$ De Hessiaan is: $$H_f(x,y) = \begin{pmatrix} 12x + 30 & 18y \\ 18y & 18x + 54 \end{pmatrix}$$ 5. **Classificeer elk kritiek punt met de Hessiaan:** - Voor $(0,0)$: $$H_f(0,0) = \begin{pmatrix} 30 & 0 \\ 0 & 54 \end{pmatrix}$$ Eigenwaarden zijn $30 > 0$ en $54 > 0$, dus $H_f(0,0)$ is positief definit. Conclusie: $(0,0)$ is een lokaal minimum. - Voor $(-5,0)$: $$H_f(-5,0) = \begin{pmatrix} 12(-5) + 30 & 0 \\ 0 & 18(-5) + 54 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -30 & 0 \\ 0 & -36 \end{pmatrix}$$ Eigenwaarden zijn $-30 < 0$ en $-36 < 0$, dus $H_f(-5,0)$ is negatief definit. Conclusie: $(-5,0)$ is een lokaal maximum. - Voor $(-3,2)$: $$H_f(-3,2) = \begin{pmatrix} 12(-3) + 30 & 36 \\ 36 & 18(-3) + 54 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 36 \\ 36 & 0 \end{pmatrix}$$ Bereken de determinant: $$\det(H_f(-3,2)) = (-6)(0) - 36^2 = -1296 < 0$$ Omdat de determinant negatief is, is de Hessiaan indefinit. Conclusie: $(-3,2)$ is een zadelpunt. - Voor $(-3,-2)$: $$H_f(-3,-2) = \begin{pmatrix} -6 & -36 \\ -36 & 0 \end{pmatrix}$$ De determinant is hetzelfde als bij $(-3,2)$, namelijk $-1296 < 0$. Conclusie: $(-3,-2)$ is ook een zadelpunt. 6. **Bepaal welke lokale extrema globaal zijn:** - De functie is een polynoom van derde graad, dus kan onbegrensd zijn. - Het lokale minimum bij $(0,0)$ is niet globaal, want $f(-5,0)$ is groter (lokale max). - De lokale maxima zijn ook niet globaal, want de functie kan naar oneindig stijgen of dalen. **Samenvatting:** - Lokale minima: $(0,0)$ - Lokale maxima: $(-5,0)$ - Zadelpunten: $(-3,2)$ en $(-3,-2)$ - Geen van de lokale extrema is globaal.