Question: polinomio di Maclaurin di grado 4 della funzione
f(x) = \ln(1 +x^2)
1. Il problema richiede di trovare il polinomio di Maclaurin di grado 4 della funzione $$f(x) = \ln(1 + x^2)$$.
2. Il polinomio di Maclaurin è una serie di Taylor centrata in $$x=0$$ e si calcola usando le derivate della funzione in $$0$$ fino al grado desiderato.
3. La formula generale del polinomio di Maclaurin di grado $$n$$ è:
$$
P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k
$$
4. Calcoliamo le derivate di $$f(x)$$ e valutiamole in $$x=0$$:
- $$f(x) = \ln(1 + x^2)$$
- $$f'(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$$
- $$f'(0) = 0$$
- $$f''(x) = \frac{2(1 + x^2) - 2x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2 - 4x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2}$$
- $$f''(0) = \frac{2 - 0}{1^2} = 2$$
- $$f^{(3)}(x) = \frac{d}{dx} f''(x)$$ calcoliamo derivando $$f''(x)$$ usando la regola del quoziente:
$$
f^{(3)}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} \right)
$$
Usiamo la regola del quoziente:
$$
\frac{( -4x)(1 + x^2)^2 - (2 - 2x^2) 2(1 + x^2) 2x}{(1 + x^2)^4}
$$
Semplificando e valutando in $$x=0$$ otteniamo:
$$
f^{(3)}(0) = 0
$$
- $$f^{(4)}(x)$$ si ottiene derivando $$f^{(3)}(x)$$ e valutando in $$0$$. Dopo calcoli si trova:
$$
f^{(4)}(0) = -24
$$
5. Ora costruiamo il polinomio di Maclaurin di grado 4:
$$
P_4(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4
$$
6. Calcoliamo i valori:
- $$f(0) = \ln(1 + 0) = 0$$
- $$f'(0) = 0$$
- $$f''(0) = 2$$
- $$f^{(3)}(0) = 0$$
- $$f^{(4)}(0) = -24$$
7. Sostituiamo:
$$
P_4(x) = 0 + 0 + \frac{2}{2} x^2 + 0 + \frac{-24}{24} x^4 = x^2 - x^4
$$
**Risposta finale:**
$$
\boxed{P_4(x) = x^2 - x^4}
$$