Max Inhoud Cilinder 4Ad968

1. **Probleemstelling:** We hebben een cilindrische vergaarbak zonder deksel gemaakt van $1000\ \text{cm}^2$ plaatijzer. We willen de straal $r$ en hoogte $h$ bepalen zodat de inhoud $V$ maximaal is. 2. **Formules en regels:** - Oppervlakte van de zijkant en bodem (zonder deksel): $$A = 2\pi r h + \pi r^2 = 1000$$ - Inhoud van de cilinder: $$V = \pi r^2 h$$ 3. **Stap 1: Druk $h$ uit in termen van $r$ met de oppervlakteformule:** $$2\pi r h + \pi r^2 = 1000$$ $$2\pi r h = 1000 - \pi r^2$$ $$h = \frac{1000 - \pi r^2}{2\pi r}$$ 4. **Stap 2: Vervang $h$ in de inhoudsformule:** $$V = \pi r^2 \times \frac{1000 - \pi r^2}{2\pi r} = \frac{r(1000 - \pi r^2)}{2}$$ 5. **Stap 3: Vereenvoudig de inhoudsfunctie:** $$V = \frac{1000r - \pi r^3}{2} = 500r - \frac{\pi}{2} r^3$$ 6. **Stap 4: Maximaliseer $V$ door de afgeleide te nemen en gelijk te stellen aan nul:** $$V' = 500 - \frac{3\pi}{2} r^2 = 0$$ 7. **Stap 5: Los op voor $r^2$:** $$\frac{3\pi}{2} r^2 = 500$$ $$r^2 = \frac{500 \times 2}{3\pi} = \frac{1000}{3\pi}$$ 8. **Stap 6: Bereken $r$:** $$r = \sqrt{\frac{1000}{3\pi}}$$ 9. **Stap 7: Bereken $h$ met gevonden $r$:** $$h = \frac{1000 - \pi r^2}{2\pi r} = \frac{1000 - \pi \times \frac{1000}{3\pi}}{2\pi r} = \frac{1000 - \frac{1000}{3}}{2\pi r} = \frac{\frac{2000}{3}}{2\pi r} = \frac{1000}{3\pi r}$$ 10. **Stap 8: Vervang $r$ in $h$:** $$h = \frac{1000}{3\pi \sqrt{\frac{1000}{3\pi}}} = \frac{1000}{3\pi} \times \frac{1}{\sqrt{\frac{1000}{3\pi}}}$$ 11. **Conclusie:** De straal en hoogte die de inhoud maximaliseren zijn: $$r = \sqrt{\frac{1000}{3\pi}}$$ $$h = \frac{1000}{3\pi r}$$ Deze waarden zorgen voor de maximale inhoud van de vergaarbak met een oppervlakte van $1000\ \text{cm}^2$.