Question: Beschouw de functie: $f(x,y) = 4e^{1} 2x + 2x \cdot e^{y}$. Wat is de waarde van de eerste orde partiële afgeleide $\frac{\partial f}{\partial x}$ in het punt $x = 2$ en $y = 1$?
1. **Probleemstelling:** We willen de waarde van de partiële afgeleide $\frac{\partial f}{\partial x}$ van de functie
$$f(x,y) = 4e^{1} 2x + 2x \cdot e^{y}$$
berekenen in het punt $x=2$ en $y=1$.
2. **Formule en regels:** De partiële afgeleide $\frac{\partial f}{\partial x}$ betekent dat we $y$ als constante beschouwen en differentiëren naar $x$.
3. **Afleiden van $f(x,y)$ naar $x$:**
$$f(x,y) = 4e^{1} 2x + 2x e^{y}$$
De term $4e^{1} 2x$ kan worden geschreven als $8xe$ omdat $e^{1} = e$ en $4 \times 2 = 8$.
Dus:
$$f(x,y) = 8xe + 2x e^{y}$$
De partiële afgeleide is:
$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(8xe) + \frac{\partial}{\partial x}(2x e^{y})$$
Omdat $e$ en $e^{y}$ constant zijn met betrekking tot $x$:
$$\frac{\partial f}{\partial x} = 8e + 2 e^{y}$$
4. **Waarde invullen bij $x=2$, $y=1$:**
$$\frac{\partial f}{\partial x} (2,1) = 8e + 2 e^{1} = 8e + 2e = 10e$$
5. **Numerieke waarde:**
$$e \approx 2.718$$
$$10e \approx 10 \times 2.718 = 27.18$$
6. **Conclusie:** De waarde van $\frac{\partial f}{\partial x}$ in het punt $(2,1)$ is ongeveer $27.18$, wat groter is dan 20.
**Antwoord:** f) De waarde van $\frac{\partial f}{\partial x}$ is in het gegeven punt groter of gelijk aan 20.