Question: ข้อ 12: กำหนดให้ $y = 2e^{x^2} + \sin 5x$ จงหา $y''$
1. ปัญหาคือการหาค่าอนุพันธ์อันดับสอง $y''$ ของฟังก์ชัน $y = 2e^{x^2} + \sin 5x$.
2. สูตรที่ใช้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบและอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
- อนุพันธ์ของ $e^{u(x)}$ คือ $e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
- อนุพันธ์ของ $\sin(ax)$ คือ $a \cos(ax)$.
3. หาอนุพันธ์อันดับหนึ่ง $y'$:
$$y' = \frac{d}{dx} \left( 2e^{x^2} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sin 5x \right)$$
4. คำนวณอนุพันธ์แต่ละส่วน:
- $\frac{d}{dx} \left( 2e^{x^2} \right) = 2 \cdot e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx} (x^2) = 2e^{x^2} \cdot 2x = 4xe^{x^2}$
- $\frac{d}{dx} \left( \sin 5x \right) = 5 \cos 5x$
5. ดังนั้น
$$y' = 4xe^{x^2} + 5 \cos 5x$$
6. หาอนุพันธ์อันดับสอง $y''$:
$$y'' = \frac{d}{dx} \left( 4xe^{x^2} \right) + \frac{d}{dx} \left( 5 \cos 5x \right)$$
7. ใช้กฎผลคูณสำหรับ $4xe^{x^2}$:
$$\frac{d}{dx} (4x e^{x^2}) = 4 \cdot \frac{d}{dx} (x e^{x^2}) = 4 \left( e^{x^2} + x \cdot \frac{d}{dx} e^{x^2} \right)$$
8. หา $\frac{d}{dx} e^{x^2}$:
$$\frac{d}{dx} e^{x^2} = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$$
9. แทนค่าในข้อ 7:
$$4 \left( e^{x^2} + x \cdot 2x e^{x^2} \right) = 4 \left( e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2} \right) = 4e^{x^2} + 8x^2 e^{x^2}$$
10. หาอนุพันธ์ของ $5 \cos 5x$:
$$\frac{d}{dx} (5 \cos 5x) = 5 \cdot (-5 \sin 5x) = -25 \sin 5x$$
11. รวมผลลัพธ์ทั้งหมด:
$$y'' = 4e^{x^2} + 8x^2 e^{x^2} - 25 \sin 5x$$
12. สรุปคำตอบ:
$$\boxed{y'' = 4e^{x^2} + 8x^2 e^{x^2} - 25 \sin 5x}$$