Tich Phan Bai 28 E9Cbfe

1. **Tính tích phân** $I = \int \tan^{2}(x) dx$. 2. **Tính tích phân** $I = \int \frac{dx}{x \ln x \ln(\ln x)}$ bằng đổi biến. 3. **Tính tích phân** $I = \int e^{x} \sin x dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần. 4. **Tính tích phân** $I = \int \frac{x^{4} - 3x^{2} - 3x - 2}{x^{3} - x^{2} - 2x} dx$ bằng phân tích phân thức đơn giản. --- ### Bài 1: 1. Ta biết công thức: $$\tan^{2}(x) = \sec^{2}(x) - 1$$ 2. Do đó: $$I = \int \tan^{2}(x) dx = \int (\sec^{2}(x) - 1) dx = \int \sec^{2}(x) dx - \int 1 dx$$ 3. Tích phân cơ bản: $$\int \sec^{2}(x) dx = \tan x + C$$ 4. Vậy: $$I = \tan x - x + C$$ --- ### Bài 2: 1. Cho tích phân: $$I = \int \frac{dx}{x \ln x \ln(\ln x)}$$ 2. Đặt biến đổi: $$t = \ln(\ln x)$$ 3. Tính vi phân: $$dt = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{dx}{x \ln x}$$ 4. Thay vào tích phân: $$I = \int \frac{dx}{x \ln x \ln(\ln x)} = \int \frac{1}{t} dt$$ 5. Tích phân: $$\int \frac{1}{t} dt = \ln |t| + C = \ln |\ln(\ln x)| + C$$ --- ### Bài 3: 1. Tính tích phân: $$I = \int e^{x} \sin x dx$$ 2. Áp dụng tích phân từng phần, chọn: $$u = \sin x, \quad dv = e^{x} dx$$ 3. Tính: $$du = \cos x dx, \quad v = e^{x}$$ 4. Áp dụng công thức tích phân từng phần: $$I = uv - \int v du = e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x dx$$ 5. Gọi: $$J = \int e^{x} \cos x dx$$ 6. Tích phân từng phần cho $J$: Chọn: $$u = \cos x, \quad dv = e^{x} dx$$ Tính: $$du = -\sin x dx, \quad v = e^{x}$$ 7. Áp dụng: $$J = e^{x} \cos x - \int e^{x} (-\sin x) dx = e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x dx = e^{x} \cos x + I$$ 8. Thay lại vào biểu thức ban đầu: $$I = e^{x} \sin x - J = e^{x} \sin x - (e^{x} \cos x + I) = e^{x} \sin x - e^{x} \cos x - I$$ 9. Cộng $I$ sang vế trái: $$I + I = 2I = e^{x} (\sin x - \cos x)$$ 10. Vậy: $$I = \frac{e^{x} (\sin x - \cos x)}{2} + C$$ --- ### Bài 4: 1. Tính tích phân: $$I = \int \frac{x^{4} - 3x^{2} - 3x - 2}{x^{3} - x^{2} - 2x} dx$$ 2. Phân tích mẫu: $$x^{3} - x^{2} - 2x = x(x^{2} - x - 2) = x(x - 2)(x + 1)$$ 3. Chia đa thức tử cho mẫu để tìm phần đa thức và phần phân thức: Chia $x^{4} - 3x^{2} - 3x - 2$ cho $x^{3} - x^{2} - 2x$: - Thương: $x$ - Tử trừ thương nhân: $$x^{4} - x^{3} - 2x^{2}$$ - Hiệu: $$(x^{4} - 3x^{2} - 3x - 2) - (x^{4} - x^{3} - 2x^{2}) = x^{3} - x^{2} - 3x - 2$$ 4. Viết lại: $$\frac{x^{4} - 3x^{2} - 3x - 2}{x^{3} - x^{2} - 2x} = x + \frac{x^{3} - x^{2} - 3x - 2}{x^{3} - x^{2} - 2x}$$ 5. Phân tích phân thức còn lại: $$\frac{x^{3} - x^{2} - 3x - 2}{x(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 1}$$ 6. Nhân hai vế với mẫu: $$x^{3} - x^{2} - 3x - 2 = A(x - 2)(x + 1) + B x (x + 1) + C x (x - 2)$$ 7. Mở rộng: $$A(x^{2} - x - 2) + B(x^{2} + x) + C(x^{2} - 2x) = (A + B + C) x^{2} + (-A + B - 2C) x - 2A$$ 8. So sánh hệ số: - Hệ số $x^{3}$: bên trái là $1$, bên phải không có nên sai, ta cần kiểm tra lại bước chia đa thức. **Chú ý:** Bước chia đa thức sai vì tử có bậc 4, mẫu bậc 3, thương phải là bậc 1. Chia lại: - Thương: $x$ - Nhân thương với mẫu: $$x(x^{3} - x^{2} - 2x) = x^{4} - x^{3} - 2x^{2}$$ - Hiệu: $$(x^{4} - 3x^{2} - 3x - 2) - (x^{4} - x^{3} - 2x^{2}) = x^{3} - x^{2} - 3x - 2$$ Phần dư là bậc 3, bằng bậc mẫu, cần chia tiếp. Chia tiếp: - Thương thêm: $+1$ - Nhân $1$ với mẫu: $$x^{3} - x^{2} - 2x$$ - Hiệu: $$(x^{3} - x^{2} - 3x - 2) - (x^{3} - x^{2} - 2x) = -x - 2 + 2x = x - 2$$ Vậy thương tổng: $$x + 1$$ Phần dư: $$x - 2$$ 9. Viết lại: $$\frac{x^{4} - 3x^{2} - 3x - 2}{x^{3} - x^{2} - 2x} = x + 1 + \frac{x - 2}{x(x - 2)(x + 1)}$$ 10. Phân tích phân thức còn lại: $$\frac{x - 2}{x(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 1}$$ 11. Nhân hai vế với mẫu: $$x - 2 = A(x - 2)(x + 1) + B x (x + 1) + C x (x - 2)$$ 12. Thay các giá trị đặc biệt để tìm hệ số: - $x=0$: $$0 - 2 = A(-2)(1) + 0 + 0 \Rightarrow -2 = -2A \Rightarrow A = 1$$ - $x=2$: $$2 - 2 = 0 + B \cdot 2 \cdot 3 + 0 \Rightarrow 0 = 6B \Rightarrow B = 0$$ - $x=-1$: $$-1 - 2 = 0 + 0 + C \cdot (-1) \cdot (-3) \Rightarrow -3 = 3C \Rightarrow C = -1$$ 13. Vậy: $$\frac{x - 2}{x(x - 2)(x + 1)} = \frac{1}{x} + \frac{0}{x - 2} - \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$$ 14. Tích phân trở thành: $$I = \int (x + 1) dx + \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} \right) dx$$ 15. Tính từng tích phân: $$\int (x + 1) dx = \frac{x^{2}}{2} + x + C$$ $$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$$ $$\int \frac{1}{x + 1} dx = \ln |x + 1| + C$$ 16. Vậy kết quả: $$I = \frac{x^{2}}{2} + x + \ln |x| - \ln |x + 1| + C = \frac{x^{2}}{2} + x + \ln \left| \frac{x}{x + 1} \right| + C$$