Question: Actividad 1 Modelo Eléctricos
Debido a que estamos en paralelo
Ii(t)
Ir(t)
Ic(t)
IL(t)
VL(t)
Para este problema en particular queremos encontrar la ED que relacione Ii(t) con VL(t)
Ii(t)
VL(t)
1.- Obtenga el modelo en Ecuación Diferencial del Problema Eléctrico.
2.- Obséngase su Modelo en Función de Transferencia a partir del modelo en Ecuaciones Diferenciales, del problema eléctrico descrito.
NOTA: No es el mismo ejercicio que el visto en clase, VL(t)
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos encontrar la ecuación diferencial que relacione la corriente total de entrada $$Ii(t)$$ con la tensión de salida $$VL(t)$$ en un circuito paralelo formado por una resistencia $$R$$, un capacitor $$C$$ y un inductor $$L$$.
2. **Modelo del circuito paralelo:**
En un circuito paralelo, la corriente total $$Ii(t)$$ es la suma de las corrientes en cada rama:
$$
Ii(t) = Ir(t) + Ic(t) + IL(t)
$$
3. **Expresión de cada corriente en función de $$VL(t)$$:**
- Corriente en la resistencia:
$$
Ir(t) = \frac{VL(t)}{R}
$$
- Corriente en el capacitor:
$$
Ic(t) = C \frac{d}{dt} VL(t)
$$
- Corriente en el inductor:
$$
VL(t) = L \frac{d}{dt} IL(t) \implies IL(t) = \frac{1}{L} \int VL(t) dt
$$
Pero para expresar $$IL(t)$$ en función de $$VL(t)$$ y sus derivadas, derivamos ambos lados:
$$
\frac{d}{dt} IL(t) = \frac{1}{L} VL(t)
$$
4. **Derivando la ecuación total para eliminar la integral:**
Partimos de:
$$
Ii(t) = \frac{VL(t)}{R} + C \frac{d}{dt} VL(t) + IL(t)
$$
Derivamos ambos lados:
$$
\frac{d}{dt} Ii(t) = \frac{1}{R} \frac{d}{dt} VL(t) + C \frac{d^2}{dt^2} VL(t) + \frac{d}{dt} IL(t)
$$
Usando $$\frac{d}{dt} IL(t) = \frac{1}{L} VL(t)$$:
$$
\frac{d}{dt} Ii(t) = \frac{1}{R} \frac{d}{dt} VL(t) + C \frac{d^2}{dt^2} VL(t) + \frac{1}{L} VL(t)
$$
5. **Reorganizando para obtener la ecuación diferencial:**
$$
C \frac{d^2}{dt^2} VL(t) + \frac{1}{R} \frac{d}{dt} VL(t) + \frac{1}{L} VL(t) = \frac{d}{dt} Ii(t)
$$
6. **Interpretación:**
Esta es la ecuación diferencial que relaciona la tensión $$VL(t)$$ con la corriente de entrada $$Ii(t)$$ sin usar la transformada de Laplace.
7. **Modelo en función de transferencia (conceptual):**
La función de transferencia $$H(s) = \frac{VL(s)}{Ii(s)}$$ en dominio $$s$$ es:
$$
H(s) = \frac{sL}{LC s^2 + \frac{L}{R} s + 1}
$$
Pero como se pidió no usar Laplace, esta expresión es solo para comparación conceptual.
**Resumen:**
- Ecuación diferencial:
$$
C \frac{d^2}{dt^2} VL(t) + \frac{1}{R} \frac{d}{dt} VL(t) + \frac{1}{L} VL(t) = \frac{d}{dt} Ii(t)
$$
- Función de transferencia conceptual:
$$
H(s) = \frac{sL}{LC s^2 + \frac{L}{R} s + 1}
$$
Esto muestra cómo la ecuación diferencial y la función de transferencia están relacionadas, y cómo la función de transferencia se obtiene a partir de la ecuación diferencial mediante transformada de Laplace, que aquí no se aplica para la solución directa.