Arrangements Empoisonnement Ec0418

1. **Énoncé du problème** Nous devons déterminer le nombre d\'arrangements différents des lettres du mot EMPOISONNEMENT dans trois cas : sans contrainte, avec les trois lettres N consécutives, et avec toutes les lettres identiques groupées. 2. **Analyse des lettres** Le mot EMPOISONNEMENT contient 12 lettres au total. Les lettres et leurs fréquences sont : - E : 3 fois - M : 2 fois - P : 1 fois - O : 2 fois - I : 1 fois - S : 1 fois - N : 3 fois - T : 1 fois 3. **Formule générale pour arrangements avec répétitions** Le nombre d\'arrangements de $n$ objets avec des répétitions est donné par : $$ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \cdots \times n_k!} $$ avec $n_i$ la fréquence de chaque lettre répétée. --- ### a) Sans contrainte 4. Calcul du nombre total d\'arrangements : $$ \frac{12!}{3! \times 2! \times 2! \times 3!} $$ 5. Calculons la valeur : - $12! = 479001600$ - $3! = 6$ - $2! = 2$ - $3! = 6$ Donc : $$ \frac{479001600}{6 \times 2 \times 2 \times 6} = \frac{479001600}{144} = 3326400 $$ --- ### b) Les trois lettres N sont consécutives 6. Considérons les trois N comme une seule lettre $N^*$. Le nombre total d\'objets devient $12 - 2 = 10$ (car 3 N deviennent 1 $N^*$). 7. Les fréquences deviennent : - $N^*$ : 1 - E : 3 - M : 2 - O : 2 - P : 1 - I : 1 - S : 1 - T : 1 8. Le nombre d\'arrangements est : $$ \frac{10!}{3! \times 2! \times 2!} $$ 9. Calculons : - $10! = 3628800$ - $3! = 6$ - $2! = 2$ Donc : $$ \frac{3628800}{6 \times 2 \times 2} = \frac{3628800}{24} = 151200 $$ --- ### c) Les lettres identiques ne peuvent être séparées 10. Cela signifie que chaque groupe de lettres identiques est considéré comme une seule unité. Les groupes sont : - EEE - MM - OO - NNN - P - I - S - T 11. Le nombre total d\'unités est donc 8. 12. Le nombre d\'arrangements est le nombre de permutations de ces 8 unités distinctes : $$ 8! = 40320 $$ --- **Réponses finales :** - a) $3326400$ - b) $151200$ - c) $40320$